如何证明e为无理数? 第1页

这里我们给出一个超越性的证明（证明源自Hermite，1873），从而直接说明e既是无理数又是超越数。

考虑积分：

使用分部积分，再乘上 ，可以得到：

这里的两个积分形式是一样的，只是 换成了 ，所以现在令：

同时，假设 是一个多项式，于是上面的函数 便是一个有限的多项式。

对于最上面的那个积分，重复使用分部积分，用 可以表示为：

现在假设e是一个代数数。根据定义，我们应有一个（整系数）多项式，使得：

利用等式（*），我们可以得出：

等式右边的第一项为0，所以

注意，这时我们的等式（**）依然对所有多项式 成立。

这个证明的关键在于，现在我们要选取一个合适的 ，使得左边是一个非零整数，但右边又很小(小于1），于是得出一个矛盾。

现在令：

其中 是一个质数。令：

那么，对于（**）的左边，

这里的 ， 和 都与p无关。因为阶乘比指数增长得快，我们可以选择一个足够大的 使得不等式的右边小于1。

要证明（**）的右边是非零整数，首先考虑 的情况。先对 用泰勒展开，

如果 ， ，所以通过对比两边的系数，我们得到：

所以 是个整数。现在令 且 。

因为 是一个质数，它将不存在于 中，那么 不是一个 的倍数，而对于更高阶的导数，通过对比系数，

因为 ，所以 是整数，且是p的倍数。由此， 是一个整数。

同样地，我们通过进行泰勒展开也可以证明对于 ， 都是整数（而且是 的倍数）。

那么， 可以是0吗？答案是不能。因为 不是 的倍数，而其他 都是，这迫使 成为 的倍数，而这当然是不可能的。

（至于为什么超越数一定是无理数。。留作习题吧）