如何证明这个数列$$a_{n}=sum_{i=1}^{n}(-1)^{⌊ix⌋}$$无界？ 第1页

这道题目非常非常的不容易！！

我用了整整一上午进行思考与分析，编制程序进行数值实验，并且独立给出了一个相当复杂的证明，放在下面：

这个问题大抵相当于在研究[无理数的正比例函数]产生的均匀分布数列的[非均匀程度]，（更新回答，是我孤陋寡闻了，qwq，论文《On a conjecture of Erdős and Szüsz related to uniform distribution mod 1 》中已经指出了一个推广的结果，不过证明也更长）

请勿转载，因为我也不大清楚我的这个证明是不是完全可靠。

先说结果 : 对于任意无理数 都有 无界 .

符号说明 : 本文一律使用 表示取整数部分和小数部分 ,

用 表示 的最小非负余数 , 并默认读者对实数连分数展开有基础的认知 .

首先 , 很显然我们可以不妨设 , 因为用 替代 不会改变序列的值

于是 , 我们希望研究 的奇偶性分布 . 不难发现 , 的奇偶与 相关 :

实际上 , 当 时前者为偶数 , 当 时前者为奇数 . ( 因为无理数 , 不会恰好 )

于是设 也是无理数 , 这时熟悉连分数展开的读者很容易联想到 :

既然研究 在 内的分布 , 为什么不使用一个有理数 来替代 呢 ?

实际上 , 这是一个非常出色的想法 , 正是解决问题的关键 . 不妨设 的渐进分数为 :

也就是其第 个连分数逼近 , 有经典的误差估计 .

现在对于 显然 , 看起来非常接近

有理数的好处在于 , 可以研究余数来代替小数部分 , 这时上面这一估计可以帮助我们得到 :

表达式 , 可以写成

因为 与 的误差在 以内 , 于是此时

也就是 即 , 类似 时 ,

不过因为 是互质的 , 因此当 取遍 的整数时 , 也取遍

于是我们定义 补充定义

因为唯二可能出问题的地方在于 取到 ( 偶数 ) 与 ( 奇数 )

不过因为各值刚好不重不漏出现一次 , 于是 的值至多有两个

因此 与 的值差至多为

于是我们将原问题的研究转化为了 的值的研究 , 为了方便

我们首先不再限制 , 只要求 是互质的正整数 , 定义式可以延拓到所有这样的 去

并且定义 :

很显然 , 这两个定义就是在表示 的值域

这时 , 不难发现一些简单性质

上述两条性质都几乎是根据定义直接得到或者是对特殊的情况简单计算得到的 .

只有下面这些递推式稍有难度 , 但是证明过程是很无聊枯燥的 , 我们把他们留给读者

( 这几个递推关系式的证明读者只要在纸上写出各 的值对照 不难发现 )

当 时 , 我们有 : 记

当 时

当 时

这表明如果定义 其值看起来在变大而没有减小

于是最后的问题就是 , 我们怎么弄清楚在递归计算 的过程中 被执行的次数呢 ?

这时不要忘记一个强有力的工具 , 连分数 . 我们知道 的值是连分数计算出来的

通常给我们的感觉就是有限连分数的阶数越高 ( 就是写成分式层数越多 )

分子分母通过辗转相减进行的轮数也就越多 , 而我们的 表达式很像在进行辗转的过程

因此为了进一步分析这一连分数的计算 , 我们考察两个连分数恒等式 :

当 时

证明其实格外简单 , 就是将他们写成朴素的分数 : 然后约分计算即可

在上面的式子用 代替 于是 时都有 :

这两条式子的用途是什么呢 ? 我们还是要回到刚才的递推式 , 我们考察他们的【连分数意义】

如果我们把 联系到 , 那么 和 的那条式子

告诉我们既约分数 扔掉整数部分变成 后 , 的界 不改变 ( 显然 )

而有趣的是 这两式 , 结合 的定义 , 可写作

而 , 这告诉我们 , 如果分母 比 大很多 ,

可以对分母减若干个 直到分母小于 变成 , 如果恰巧有 那么 :

连分数 知 , ( 请读者思考为什么 )

变成了 , 用连分数写 , 就是 然后 加上

因为我们前面说了可以扔掉整数部分 , 于是连分数就变成了 连分数的项数减

这是 是偶数的情况 , 而对于 是奇数的情况 , 就要用到 两式 .

这时候 , 而分数变成了

用连分数写 , 就是 , 这时候分母就出现过我们刚才研究的 了

只不过因为 我们没有把连分数写开 , 而是保留一个实数在那方便描述

因此分类如下 , 当 时

因此连分数变成 然后 加上

( 当然也要继续扔掉整数部分变成 )

另外一类是 这时候 然后 加上

因此不难发现 因为每次 的增加量都是正的 , 而且连分数的项数至多减少

因此我们断言 , 对于 的连分数展开阶为 或更大的时候

因为 因此当 的连分数的阶无限增长下去的时候 是无界的

结合 的定义 其阶为 .

结合 是一个无理数 , 因此其存在任意阶的连分数展开 .

结合 与 的值差至多为 .

结合 在 增长时是无界的 .

我们最终证明了 是无界的