你见过哪些让人眼前一亮的数学题？ 第1页

在平面直角坐标系中，画一个边长为R的正方形：

用 表示该正方形内格点（lattice）的数量，再用 表示该正方形内素格点（横纵坐标为互素的整数）的数量，求当 时素格点密度 的极限。下面我们将求解这个有趣的谜题。

第一步： 的表达式

很明显，这是一个数论问题，而且还是一个数格点问题。根据图像的性质，易得 ，而 的求法就比较特殊了。现在我们画一条对角线：

可以发现只要能求出橙色线下方素格点的数量，就能得出 的表达式。

由图可知，若蓝线的横坐标为n，则蓝线上素格点的数量就是比n小且与n互素数的数量，即 。因此 ，所以原问题就变成了求解如下极限：

第二步：求解极限

对于分子，我们可以利用欧拉函数的狄利克雷卷积性质 ，得到：

事实上根据 ^[1]以及 ^[1]，有：

于是代入回原来的表达式，得：

第三步：计算级数

事实上，我们可以利用Dirichlet级数的乘法来转换问题。根据莫比乌斯反演，可知：

所以 。综上所述当正方形的边长不断增大时，素格点的密度会逐渐向 靠拢。

又一个意想不到的圆周率

参考

1. ^^ab当数论遇上分析（2）——向下取整与渐近展开 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/222714937