如何用变分法证明圆是同等周长下，面积最大的平面图形？ 第1页
1
travorlzh 网友的相关建议:
设D为图形的区域，则 为图形边界，图形周长为2πR，因此题目的问题可以改写为：
根据格林公式： ，我们不妨设 ，则目标函数可以被转化为： 。因此，我们可以使用拉格朗日乘数法构造：
则S被称作泛函，F被称作为泛函核。当泛函S取极值时，其核函数F必须满足欧拉-拉格朗日方程：
其中：
把 代入到(1)式，得：
两侧同时积分，得：
把 代入到(2)式，得：
两侧同时积分，得：
(3)+(4)，得：
由于x和y有无数种参数方程表示，所以我们只取其中一种方式（设 ）：
因此 ，把 代入到优化问题的限制条件中：
由于 ，所以 ，因此周长为L且面积最大图形的直角坐标表达式为：
即圆形。
1
相关话题
代数、几何能否联系一起？为什么三角形内角和一定是 180 度？
为什么三角形内角和一定是 180 度？
一个同时有内切椭圆和外接椭圆的多边形满足什么条件？
为什么圆锥曲线的二级结论那么多而其他章节的就相对要少？
是否存在三边都为有理数的三角形，其面积为 1？
面积与体积的精确定义究竟是什么？
拓扑领域有哪些美妙的工作？
世界上存在周长为整数，半径也是整数的圆吗？
如何看待卡西·曼夫妇发现的可无缝密铺平面的五边形？
下一个讨论
为什么有这么多人吃狗肉？
相关的话题
面积有限的物体，周长是否有限？除了 3，4，5 以外是否还有别的三角形，它的三条边是连续自然数，它的面积也是自然数？
如果正方形是圆，那么圆是正方形吗？
如何学习几何学（现代微分几何，包括微分流形，黎曼几何等）？
如何理解微分几何中的『联络』?
为什么许多问题几何性质很明确，但却还要证明呢？
已知一个圆，一个点和一条直线，如何找到一个与圆相切过点且圆心在直线上的圆？
微分流形与黎曼几何有什么关系？
给定一个圆如何确定圆心?
为什么算数不等式叫算数不等式，几何不等式叫几何不等式?
如何在田字格中作出一个正三角形？
看到正方形能想到什么？
1cm长度的线段上的点的个数，和1m长度的线段上的点的个数，哪个多？
1cm长度的线段上的点的个数，和1m长度的线段上的点的个数，哪个多？
最速降线为什么处处可导，有没有什么直观的解释？
安卓手机的登录密码是用9点构成的图形，如何设置成最复杂的形状？
这个几何证明题怎么做？
请问以下轨迹是否为卡西尼卵形线？
请问一条满足: 法向量和法向量二阶导数平行的空间曲线是什么曲线？
是否所有简单闭曲线都同胚与圆周？
有哪些神奇的数学巧合？
球面如何均布49个点？
怎样从生化危机里的激光网格逃生？
MIT 学者算出 π=3.115，是 π 的值变了吗？
请试着论证下此问题是否条件充分，可解？
牛顿莱布尼兹公式指出求导和积分互为逆运算。从几何的角度看求斜率和求面积似乎并没有直接联系？
圆周率 π 为什么最初没定义成「周长与半径的比值」？直径和半径，哪个是构成圆最基本的单元？
孩子初三了，几何不好，证明题做题速度超慢，感觉无头绪，关键自己还不着急，应该怎样学习，如何突破？
这道几何题怎么证明？
这个几何证明题怎么做？