x^x 的导数怎么算？ 第1页

@予一人 大佬给出了比较好记忆的结论，但是我看评论区有朋友想知道原理(我猜是太简单了所以大佬懒得写了，那就让我这个弱鸡代劳吧)。

对于给定的可导的幂指函数 ，

那么

我们来观察上面的式子，

如果我们将 看作指数函数求导会得到

将 看作幂函数求导会得到

所以说这个结论对于 可导且 是具有普遍性的。

第二次更新我想和大家一起研究一下从多变量函数的角度理解这个问题。

一些定义

为了搞清楚这个问题背后的东西，我们来思考一个问题：微分到底是什么东西？

为了给出微分的一般定义，我们(仿照一元函数的情况)给出

定义1 设 是赋范空间，称集合 到 的映射 在 的内点 可微，如果存在线性连续映射 使得

其中

定义2 称满足定义1的关于 的线性函数 为映射 在点 的微分(切映射、导数)。记作 。

设 是赋范空间 的直积中点 的邻域， 是 到赋范空间 的映射，此时

中固定除变量 以外所有的变量，设

得到定义在空间 的点 的某个邻域 上的函数

定义3 称映射 为已知映射 在点 处的局部映射。

定义4 如果映射 在点 处可微，那么称它在这一点的导数(或微分)为 在点 关于变量 的偏导数(或偏微分)。通常记作 。

更确切地说，

为了作区分，通常将 称为全微分。

微分和线性映射的性质

1. 从实值函数的角度出发

如果将 中的向量 写成坐标形式，那么全微分的定义就等价于 个实值函数的等式：

并且 是线性函数且

现在考虑定义在集合 上的实值函数 并且设它在 的内点 可微。如果 是 的内点，对于足够小的 ，显然 也是 的内点。

利用坐标表示点 ，向量 和线性函数 ，那么

可以写作

其中 是依赖于 的实数。

为了求这些实数，利用特殊的位移

代替任意的 ，显然 与 的基底 中的 共线。

当 时，显然有 ，因此

事实上，根据定义4，

于是便证明了

命题1 如果定义在集合 上的函数 在 的内点 可微，那么函数 在点 关于每个变量有偏导数，并且它的微分由这些偏导数唯一确定：

依照爱因斯坦约定可以写作

2. 线性映射的结论

命题2 如果对于向量 ，当 时，令

根据闵可夫斯基不等式，得到 的范数，并用 记装备了这个范数的空间 。

命题3 作为命题2的推广，如果 是赋范空间的直积，那么令

即可在 中引进向量 的范数，这里 是向量 在空间 中的范数。

命题4(线性映射的一般形式) 设线性空间 是线性空间 的直积， 是 到线性空间 的线性映射，将每个向量 表示为

并且对于 设

显然， 是线性映射，并且

命题5 根据线性空间 的直积 的定义和映射 的定义，可以得到，任意线性映射

都有

的形式，其中 是线性映射。

命题6 设 是赋范空间 的点 的邻域，

是从 到空间 直积中的映射。

给定这样一个映射就相当于给定了 个映射 ，它们与 在 的每一个点 都满足

考虑到

引用命题3和命题4的结论得到所研究的映射 在点 可微，当且仅当它的所有分量 可微，并且在 可微的情况下成立等式

。

命题7 设 ，下面证明

的可微性并求其微分。

证 利用 的多重线性性，我们得到

因为在 中的范数满足不等式

而算子 的范数 有限，并且

因此

其中 ，命题得证。

但是算子

是关于 的线性连续算子。

因此

结合前述命题最终得到

命题8 如果依定义2给出的映射 在点 可微，那么它在这点有关于每个变量的偏微分，而且全微分和偏微分由关系式

联系，其中

命题9(复合映射的微分法则) 在给出赋范空间 以及 内的开集 和 内的开集 的情况下，如果映射 在点 可微，而映射 在点 可微，那么这两个映射的复合 在点 可微，并且

即复合的微分等于微分的复合(证明思路与一元的情况类似，略)。

回归到本题中， 可看作一个复合多变量函数

那么

具体地，取 ，有

即