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如何证明下面的整除关系成立? 第1页

  

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@六院的灵猿 的回答已经非常全了,我们就不妨做一些推广:

事实上,这个问题可以拓展为:

命题: ,即n总是整除 关于h的离散Fourier变换。

证明:经过类似 @六院的灵猿 的变换,可得:

定义拉马努金和 ,则原式变换为:

事实上,拉马努金和满足:

[1]

并且 。因此,我们的命题变成了 :

对于此类问题,我们要化整为零。假设n可以被分解为a、b两个互素数,则:

这意味着 。因此我们只需要考虑证明最简单的情况,即

展开可得:

现在设 则可以分类讨论:

当r=w时:

其中最后一行可以参考 @六院的灵猿 的回答。

当r<w时:

由 可知:

而第二项可以被分解成

由于在a-h>1的情况下 ,我们仅选择 的情况进行求和:

将第一项和第二项的结果回代至(a)式,可得:

综上所述, ,撒花!!

参考

  1. ^当数论遇上分析——拉马努金和与欧拉函数的故事 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/166530236



  

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