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将一个大于等于3的数分成三个正整数相加有多少种分法? 第1页

  

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面向OEIS答题 oeis.org/A069905

对于 ,有 种分法,其中 表示四舍五入


现在的解答都非常好,有用容斥原理列出递推式的,有用隔板法再去重的,我这里再来一个方法吧。我的想法非常朴素,就是将拆三数之和转化为拆两数之和。

显然对于 ,拆成两个正整数之和的方法数是 。不过还不够。我们需要更强的结论。

对于 ,将其拆成两个正整数之和 ,且 的方法数记做 ,则

(这个是很容易讨论的,读者可以在纸上画画,这里就不展开了)

设对于 ,将其拆成三个正整数有 种方法。假设这三个正整数中,较小的两个正整数之和为 ,则最大的正整数为 ,此时较小的两个正整数每一个都不能超过 ,因此对应的方法数就是 。遍历每一个 求和,即有:

这里的 可以被分为三部分,对应上面分段式子的三部分: , ,

  1. ,这一部分对应的 ,就不考虑了
  2. ,这等价于 ,此时
  3. ,这等价于 ,此时

因此 ,进一步整理成

为了计算求和式,鉴于 ,最暴力的方法就是穷举 六种情形把取整号去掉,分别算出结果再合并。对于 的情形,

对于其他情形,可以类似讨论。




  

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