矩阵的逆对应于线性变换的逆变换，那么矩阵的转置对应于线性变换的什么？ 第1页

来答一下这个题。已经有两位说的不错了，他们分别说了不同的方面：

1. 转置代表对偶映射（就是ldkhtys说的伴随）
2. 在实内积空间中，转置代表伴随算子（Epsilon的回答）

实际上，在实内积空间（一般地，在对称非退化双线性空间）中，对偶映射和伴随算子可以认为是一回事。更严谨地表述是， 的对偶映射 与 的伴随算子 差了一个 的典范同构 （定义为 ）。命题表述如下：

设 是有限维线性空间， 是对称的、非退化的双线性形式， 是 的线性映射，是 的伴随算子。则有
（或者说在 的典范同构下， ，即对偶映射就是伴随算子）

这样就把两种看法统一起来了。（这也不难理解，毕竟都是转置嘛~）

关于这个命题及其证明，见

注意一下，一般来说 的同构依赖于基的选取，不是典范同构，但在实内积空间中（相当于引入了额外的结构）， 的同构确实是典范的，就是借由之前说的

来自评论区 @王云峰 ：实际上述双线性形式未必需要是对称的，非对称也是可以的，只要非退化就可以确定伴随，只需注意到典范同构 f 实际上有两个，分别对应双线性形式的两个槽位，f1(v)(w) = <v,w> = f2(w)(v)，T 的伴随 S 定义为满足 <x,Ty> = <y,Sx>，则可证明 T* ⁰ f1 = f2 ⁰ S