符号测度的Lebesgue分解与泛函里面的正交分解有什么关系么？ 第1页

确实有一定关系。我们熟知，在Hilbert空间里有正交分解：如果给定一个闭子空间 ，那么任何向量 都可以分解成 ，其中 属于 ，而 . 而在Banach空间里，肯定没有天经地义的正交概念，更不用说正交分解了。如何在Banach空间里定义正交有不少版本的，我这里列举其中一个：

设 是某个Banach空间 的闭子空间， 是 中的向量。如果任意的 都满足 ，那么我们就叫 .

显然地，当Banach空间是Hilbert空间时，这个正交和内积意义下的正交是一样的。另外可以证明，如果我们能把一个向量 都可以分解成 ，其中 属于 ， ，那么此时 就是 到 的最短距离.

这个时候我们可以验证，如果令 是全体测度的空间， 是所有绝对连续的测度，那么Lebesgue分解就给出了前面正交定义下的分解。换句话说，测度意义下的正交和前面列的正交是一回事。

但是这里有个问题。我们并不知道一般的Banach空间中正交分解的存在性，甚至于我们不知道这个定义是不是正交的最好的定义——因为你甚至无法证明如果按照前面的定义，假设 能否推出 . 当然了，恐怕本来就不存在Banach空间中普适的正交的定义吧。所以这只是一个可能的框架，把Lebesgue分解定理和正交分解统一起来，但是并不能用来证明Lebesgue分解定理。

另外值得一提的是，我看到过一些用泛函分析的知识证明Lebesgue分解定理。不知道这是不是题主的问题的一部分，不过总之感兴趣的话自行搜索也不难吧。