为什么概率的公理化基础选择了测度论？
要理解为什么是测度论，我们不妨先回溯一下概率论的早期形态和它所遇到的困境。
早期概率论的“直观”与局限
在19世纪之前，概率论主要是在古典概率框架下发展的。最经典的例子就是抛硬币、骰子或者抽牌。在这种情境下，我们通常会说：
结果是有限的或可数的。 例如，抛一个骰子有六种可能的结果 ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$。
每个结果都是等可能发生的。 这是一种“对称性”的直观认知，我们相信骰子的每个面被抛出的机会是均等的。
概率是“有利结果数”除以“所有可能结果数”。
这种古典概率论在处理有限样本空间且事件等可能的情况下非常成功，它与我们对随机现象的直观感受非常契合。然而，随着数学家们开始思考更复杂的问题，这种“直观”就显露出其不足之处：
1. 不可数样本空间的处理困难： 设想一个实验，比如测量一个人随机行走某段距离的精确位置。这个位置可以是任意一个实数，样本空间是无限不可数的实数区间。在这种情况下，我们很难像古典概率那样，将区间分割成“基本事件”，并赋予它们“等可能”的概率。如果区间上的每个点都有一个非零概率，那么整个区间的概率会变成无穷大，这显然与概率不能超过1的定义相悖。反之，如果每个点概率为零，那么整个区间的概率又是零，这也不对。如何为不可数集合上的“事件”赋予概率，成了一个亟待解决的问题。
2. 事件的定义与集合结构： 在更复杂的随机过程中，事件的定义可能不仅仅是单个基本结果的集合，而是更复杂的集合。比如，在测量一个人随机行走的位置时，我们可能关心的事件是“位置在0到1之间”或者“位置大于等于0.5”。这些事件是样本空间的子集。如何为这些子集赋予概率，并且确保这些概率满足一定的性质（例如，互不相交事件的概率之和等于其并集的概率），是概率论公理化的关键。
3. 概率的性质与一致性： 随着概率理论的发展，人们发现需要一些基本的规则来保证概率的计算是有效和一致的。例如：
一个事件的概率应该是非负的。
整个样本空间（所有可能结果的集合）的概率应该是1。
如果两个事件是互斥的（不能同时发生），那么它们发生概率的和应该等于它们并集发生的概率。
这些性质看上去是“显而易见的”，但要将其严谨地写下来，并适用于所有类型的随机实验，就需要一个更强大的数学工具。
测度论的出现：严谨与普适的解决方案
正是在这样的背景下，数学家们开始寻找一个能够处理无限集合、严谨定义概率以及统一概率性质的数学框架。测度论，特别是由勒贝格（Henri Lebesgue）在他对积分理论的开创性工作中所发展出来的测度概念，恰好提供了这个完美的解决方案。
测度论的核心思想是将“测量”的概念数学化。在几何学中，我们有长度、面积、体积等概念来衡量集合的大小。测度论将这个概念推广到更一般的集合上，并且要求这些“测量”满足一些基本属性。
我们可以将测度论中的一些核心概念与概率论的对应概念进行类比：
样本空间 (Ω)： 在测度论中，我们处理的是一个集合，通常称为“空间”。这个空间就是概率论中的样本空间，它包含了所有可能的结果。
事件 (A)： 在测度论中，我们并不是为样本空间中的所有子集都赋予“测量值”（即概率）。而是需要一个特殊的集合族，称为 可测集族 (σ代数)。这个σ代数是样本空间的一个子集族，它具有以下性质：
它包含样本空间本身 (Ω)。
如果一个集合在σ代数中，那么它的补集也在σ代数中。
如果一系列集合都在σ代数中，那么它们的并集也在σ代数中。
由σ代数的定义，这意味着有限交集、可数并集和可数交集也都在σ代数中。
这个σ代数的作用就是精确地定义了我们能够谈论概率的“事件”。它提供了一个结构，使得概率的定义能够保持一致性。例如，在无限不可数样本空间的情况下，不是所有子集都可以被赋予概率，只有那些属于σ代数的子集（即“可测集”）才可以。
测度 (μ)： 在测度论中，测度是一个从可测集族映射到非负实数的函数，它满足一些关键性质：
非负性： 对于任何可测集 A，μ(A) ≥ 0。
可数可加性 (或可数次可加性)： 如果一组可测集 $A_1, A_2, A_3, ldots$ 是互不相交的（即 $A_i cap A_j = emptyset$ 对于 $i eq j$），那么它们的并集的测度等于它们各自测度之和：
$μ(igcup_{i=1}^{infty} A_i) = sum_{i=1}^{infty} μ(A_i)$
这个可数可加性是测度论最重要的性质之一，它允许我们将一个复杂集合的“大小”通过将其分解成无数个更小的、不相交的部分来计算。这正是解决早期概率论中不可数样本空间问题的关键。
测度论如何解决早期概率论的难题？
1. 处理不可数样本空间： 测度论通过引入σ代数，巧妙地解决了不可数样本空间的问题。它并不要求为所有子集定义概率，而是只为那些构成σ代数的“良性”子集定义概率。例如，在实数轴上的概率问题，我们可以将所有“Borel 集”（由开集通过有限次交集、可数并集和补集运算生成的集合）构成一个σ代数。然后，我们可以定义一个测度 μ 在这些 Borel 集上。例如，对于一个区间 $[a, b]$，我们可以定义其测度 μ([a, b]) 为 ba（即区间的长度），这就是一个满足可数可加性的测度。这样，我们就可以为不可数样本空间上的“事件”（即 Borel 集）赋予概率，而且不会出现“每个点概率非零导致总概率无穷大”的问题，因为单个点的测度可以是零。
2. 建立严谨的公理体系： 将概率论建立在测度论的基础上，意味着概率可以被看作一种特殊的“测度”，通常称为 概率测度。具体来说，一个概率测度 $P$ 需要满足以下三条公理，而这些公理正是测度论中测度定义的直接体现，并加以了概率的特定要求：
公理一（非负性）： 对于任何事件 A， $P(A) ge 0$。 （对应测度的非负性）
公理二（规范性）： 整个样本空间 Ω 的概率为 1，即 $P(Omega) = 1$。 （对应测度论中，通常会将总测度定义为1来表示概率）
公理三（可数可加性）： 如果 $A_1, A_2, A_3, ldots$ 是一列两两互不相容的事件（即 $A_i cap A_j = emptyset$ 当 $i eq j$ 时），那么这列事件的并集的概率等于它们各自概率之和：
$P(igcup_{i=1}^{infty} A_i) = sum_{i=1}^{infty} P(A_i)$
这三条公理（由柯尔莫哥洛夫提出并奠基）完美地概括了我们对概率性质的直观理解，并提供了坚实的数学基础。它们不仅适用于有限样本空间，更重要的是能够无缝地扩展到无限样本空间。
3. 统一理论框架： 测度论的引入，将概率论置于一个更广泛、更统一的数学框架之下。这使得概率论能够与积分、傅里叶分析、泛函分析等其他数学分支更好地结合，并从中汲取力量。例如，期望值可以被定义为对随机变量关于概率测度的积分，这在概率的计算和理论发展中至关重要。
总结来说，概率公理化选择测度论，是因为：
解决了不可数样本空间下的概率定义难题。
提供了严谨的数学工具（σ代数和测度）来定义“事件”和“概率”。
通过可数可加性等性质，确保了概率计算的一致性和合理性。
将概率论置于一个更广泛、更基础的数学理论框架内，便于与其他数学分支融合发展。
这不是因为测度论“比其他方法好”，而是因为在数学发展到一定阶段，为了处理更普遍、更复杂的随机现象，并赋予概率以严格的逻辑基础，测度论提供了一个不可或缺的、足够强大且精确的数学语言。它让概率论从经验性的观察和直观的规则，升华为一门严谨的数学科学。
网友意见
个人认为这方面的好材料是
1 开创者Kolmogorov的1933年名著《概率论的基本概念》的前言，
那句有名的话：”If you can, as Abel recommended, read and study the masters themselves“。
2 Shiryeav院士（柯尔莫戈洛夫大师在概率论方面的嫡传弟子之一）写的《概率论》（introduction、第二章、书最后的历史注记），英文版可能读起来更流畅一些，英文俄文互译更容易，只是个人体会哈。
下文是由我译自Shiryeav院士写的长篇回忆文章《Kolmogorov：life and creative activities》的节选，给感兴趣的同学们简要介绍一下那段历史，包括当时著名专家的反响。感谢Shiryaev院士允许我翻译他的著作。
1929年，柯尔莫哥洛夫发表了“the general theory of measure and the calculus of probability” [K19]，[PS-7]（这项工作在数学界并不广为人知），其中他给出了概率论公理化的初版，后来发展成为《概率论的基本概念》（1933）中呈现的著名的“ 柯尔莫哥洛夫公理化”。
柯尔莫哥洛夫在[K19]中谈到将概率论构建为“一般和纯粹的数学理论”的必要性，强调了“辨别出那些决定概率内部逻辑结构的要素”的迫切性，他还说：“概率的公理化应该建立在一般的测度论和函数的度量理论（metrical theory，该理论专门研究函数那些仅取决于值域定义其上的集合之测度的性质）的基础上”（例如，两个函数的正交性或正交函数系的完备性）。他谈到了“给定问题的基本事件的空间和基本事件构成的各种集合的概率”，注意到“概率方法在纯数学中的应用很大程度上来源于独立随机变量的概念”；他将注意力集中在“随机变量的独立性概念的清晰纯粹的数学表述”的缺失，“尽管提供这样一种表述并不困难”。
Borel [23]在1909年尝试用测度论建立概率论基础。 Lomnicki在1923年讨论了这一思想的某些方面[117]。
在本世纪（指20世纪）初，Bohlmann也尝试了概率论的公理化。 而Bernshtein有关概率论基础构建的文章在1917年发表。（在Bernshtein公理化中，事件的集合被看做是布尔代数，并且是根据随机事件的概率大小进行定性比较。）von Mises对概率理论的基础采用了另一种方法；他将随机事件的概率与某种理想实验的结果关联起来，并需要假设该结果的频率极限的存在性。
1933年，即“the general theory of measure and the calculus of probability”” [K19]发表四年后，柯尔莫哥洛夫出版了（Springer-Verlag）后来的经典《概率论的基本概念》，前辈们的最初想法在这里终于成形。这本专著成为了概率论所有后续发展的源头活水，是许多数学家的入门圣经和工作的标准参考。
伊藤清（Ito）写道：“读了柯尔莫哥洛夫的《概率论的基本概念》后，我坚信概率论可以用测度论的语言，像其他数学领域一样严格地发展开来。” Kac [89，48-49页]追忆他的数学生涯以及与雨果·斯坦因豪斯（Hugo Steinhaus）的合作，大约写于1935-1938年：
“我们投身概率论研究时，它刚刚从一个世纪的被忽视中兴起，并逐渐被人们接受为纯数学的一个受人尊敬的分支。之所以出现这种转变，是因为伟大的苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1933年出版了奠定概率论基础的书。”
列维（Levy）[111，67-68页]：
”到 1924 年，我逐渐适应了这样一种观点，即不应将自己限制在我所谓的真实概率定律中。 我曾试图扩展一个真正的定律，不管它有多大胆，我已经想到了在某个Borel族定义。 我并没有说服自己这是计算概率的真正基础； 也没想到能把这个如此简单的想法发表。 然后，有一天，我收到了柯尔莫戈洛夫关于概率演算基础的小册子。 我明白我失去了一个多么伟大的机会， 但为时已晚。 我什么时候才能分辨哪些想法值得发表？ "
在《概率论的基本概念》（俄语版[K63]1936年出版，英语版于1950年出版，第二版俄语版[K403]于1974年出版）的序言中，柯尔莫哥洛夫指出“超出了上述概念范围（这些概念在一般意义上来说是专家所熟悉的）限制”的方面，包括：
1.无限维空间中的概率分布；
2.关于参数的期望的微分和积分；特别是
3.条件期望理论。
他在这里还提到，“所有这些新观念和新问题必定能在完全具体的物理问题中遇到”，这指的是他与M. A. Leontovich 的合作文章[K42]以及Leontovich[105]。
所有这些新结果以及概率公理化的重要性，在《概率论的基本概念》已出版超过55年后的今天，已经非常显然。
书的第3章第4段，是关于在由有限维分布的一致集合产生的无穷维空间中建立概率测度可能性的定理，这奠定了随机过程理论的基础，随机过程逐渐成为概率论中一个应用极为广泛的巨大独立分支。
借助Radon-Nikodym定理（其现代形式可以追溯到Nikodym 1930年的工作[139]），柯尔莫戈洛夫定义了事件A相对 的条件概率 ，事件A相对随机元 的条件概率 ，随机变量 相对 的条件期望 ，随机变量 相对随机元 的条件期望 -这些构成了现代概率论的主要武器库。
关于大数定律、重对数定律等的历史和概率论公理化前的背景，可参见我的翻译文章：宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫戈洛夫的生平和工作（2）：大学时代。其中涉及了柯尔莫哥洛夫对概率论历史的一些看法，如经典概率论诞生的标志是伯努利首次提出了大数定律等等。
关于随机过程、Kolmogorov-Chapman方程的创立史，可参见我的翻译文章：宋维凯HEOM：译作——老师柯尔莫戈洛夫的生平和工作（3）：1930年代，现代概率论、随机过程的创立
更多关于柯尔莫戈洛夫大师的生平、业绩和风格，可参见我的专栏：柯尔莫戈洛夫的世界。
类似的话题
-
概率的公理化基础选择测度论，这背后并非一时兴起，而是经过了数学发展过程中对“随机性”和“数量化”的深刻思考和不懈探索。与其说是某个天才灵光一闪，不如说是数学家们在面对一系列挑战时，自然而然地走向了测度论这座逻辑严谨且普适性极强的数学大厦。要理解为什么是测度论，我们不妨先回溯一下概率论的早期形态和它所............. -
苹果公司每年的存货周转次数高达 74.1 次，这意味着苹果公司平均 5 天 就能把库存的商品卖出去。这是一个非常惊人的数字，背后反映了苹果公司在供应链管理、生产效率和市场需求预测方面的超凡能力。存货周转次数和周转期是什么意思？ 存货周转次数 (Inventory Turnover Ratio)：.............
-
高盛近期大规模抛售中概股的消息，在资本市场引起了不小的震动。如果这种抛售潮演变成一种极端情况，导致中概股持续大幅下跌，那么对中国国内的公司而言，其影响将是多层面、且往往是负面的。这里我们不妨深入剖析一下其中的逻辑链条。首先，直接的情绪传导和市场信心打击是必然的。 资本市场，尤其是股票市场，对情绪的高.............
-
关于百济神州、百胜中国等几家公司被列入“预定摘牌名单”一事，这确实牵动了不少投资者的神经，也对整个中概股市场产生着不小的影响。要说清楚这个问题，咱们得从头说起。首先，咱们得弄明白为啥这些公司会被“盯上”，进入这个“预定摘牌名单”。这事儿的根源，很大程度上跟美国证券交易委员会（SEC）在2020年通过.............
-
“为什么两个独立事件同时发生的概率，等于它们各自发生概率的乘积？” 这是一个非常有意思的问题，涉及到概率论最核心的概念之一。要理解这一点，我们需要从“独立”这个词本身入手，然后一步步地剥开概率计算的内在逻辑。首先，咱们得明确一下，啥叫“独立事件”。简单来说，就是 一个事件的发生，对另一个事件是否会发.............
-
在中国，概率与统计学教科书中对幂律分布（Power Law Distribution）的讲述相对较少，这背后有多重原因，涉及学科发展历史、课程设置、教学侧重点以及数学工具的复杂性等多个层面。以下将尽量详细地阐述这些原因：一、 学科发展历史与传统视角： 经典统计学的根基： 传统的概率与统计学教学，.............
-
在 DOTA2 的设计理念中，概率性的元素扮演着一个至关重要的角色，这并非是为了制造混乱，而是为了在瞬息万变的战场上，为玩家提供更多元、更具策略性的选择和体验。 那些看似偶然的“弹跳”、“暴击”或者“魔法失误”，实际上是游戏深度和耐玩度的重要基石。想象一下，在 DOTA2 的世界里，每一次攻击，每一.............
-
你说的问题非常有意思，也触及到了军事发展和战术演变中的一个关键点。在排队枪毙那个年代，要求士兵们进行集体射击，而不是自由射击，这可不是因为概率上效果一样那么简单，背后有非常深刻的军事、组织和技术原因。咱们从头说起，想象一下那个时候的战场是什么样的。士兵们手里拿着的，是火绳枪、燧发枪，这些枪的射速慢得.............
-
我们来聊聊那个著名的三扇门问题，也叫蒙提霍尔问题。这玩意儿啊，听起来简单，但一琢磨就容易卡壳，很多人第一反应觉得概率是二分之一，也就是一半一半。但现实并非如此，这中间的门道，说起来还真有点意思。先简单复述一下问题：你面前有三扇门，其中一扇门后面有汽车，剩下两扇门后面是山羊。你选了一扇门，但还没打开。.............
-
这个问题很有深度，也触及到了社会转型中最令人不安的方面。要论证“普通人死于政权崩溃的概率远远大于死于政权作恶的概率”，我们需要从历史的维度去理解政权更迭和稳定时期的不同风险。首先，我们得明确这里的“政权崩溃”和“政权作恶”。 政权作恶，指的是现有政权在其统治过程中，通过各种手段压迫、剥削、迫害其.............
-
这是一个非常深刻且复杂的问题，涉及到抗日战争时期中国军队的组织结构、指挥体系、军官素质、士兵待遇、政治环境以及地方势力的特性等多个层面。笼统地说中央军临阵逃跑的概率远超过地方军阀可能不够准确，但确实在一些关键战役中，中央军表现出了比部分地方军阀部队更严重的溃败现象。我们可以从以下几个角度来详细分析其.............
-
为什么美国杜鲁门政府严重低估中国出兵朝鲜的概率？美国杜鲁门政府对中国出兵朝鲜的概率估计失误，是朝鲜战争初期一个极为关键且令人费解的问题。导致这一判断失误的原因是多方面的，涉及政治、情报、文化、历史以及对新中国性质的误判等诸多因素。下面将对此进行详细阐述：一、情报的误读与分析的偏差： 情报来源的局.............
-
玩游戏，尤其是那些需要一点点运气成分的游戏，比如RPG里砍怪有没有暴击，射击游戏里子弹有没有打中，很多时候我们会觉得那些“概率”或者说“命中率”似乎不太对劲。明明说有70%的命中率，为什么我连续五六次都打空了？或者说，明明是30%的暴击率，怎么我感觉每砍两刀就有一个暴击？这种感觉非常普遍，以至于你可.............
-
即使每次赌博的输赢概率都是 50%，长期赌博者仍然更容易倾家荡产，而不是达到收益均衡。这并非因为概率“作祟”，而是由于一系列与赌博行为本身、心理因素以及现实世界的金钱运作相关的机制共同作用的结果。以下将从多个角度详细阐述：一、赌场的“抽水”（House Edge）—— 现实与理想的鸿沟这是最根本也是.............
-
旧上海的法租界在中国电影电视中出现的概率之所以远高于公共租界，这是一个非常有趣且值得深入探讨的问题。这背后涉及到历史、文化、社会经济以及电影电视创作的方方面面。下面我将尽量详细地解释其中的原因：一、 法租界在形象和气质上的独特性，更符合电影电视的审美需求： 更鲜明的“异国情调”和浪漫主义色彩： .............
-
期货市场是个残酷的地方，很多人抱着一夜暴富的梦想冲进去，结果却是一地鸡毛。说它“老天爷给的概率是一半一半”，这话说得虽然有几分道理，但绝不是全部真相。如果真这么简单，那人人都是赢家了。实际情况远比这复杂得多，导致大多数人最终亏损破产的原因，归根结底，是我们自身的一些缺陷和期货市场本身的属性在作祟。首.............
-
你提出的这个问题非常深刻，也触及到了癌症发病机制的复杂性。这涉及到遗传、环境、生活方式以及随机性等多个层面的因素。简单来说，癌症的发生不是单一因素决定的，而是多种因素相互作用的结果。我们来详细解读一下： 为什么有些人抽一辈子烟都不得癌症，而有些人不抽烟却得了癌症？这背后有多重原因，可以从以下几个方面.............
-
这个问题问得非常到位，它触及了生物学中一个非常核心且迷人的矛盾：既然基因多样性对物种生存至关重要，为什么有性生殖的生物在选择配偶时，并不是简单地“越多越好”，而是表现出种种“挑剔”和“偏好”呢？这背后隐藏着一套精妙但又充满博弈的生存策略，远比“高多样性=高存活率”这个简单公式要复杂得多。让我们一层层.............
-
这是一个非常普遍且深刻的问题，涉及到概率、心理学、交易策略等多个层面。虽然从纯粹的概率上看，一个股票短期内上涨或下跌的概率似乎是50%（忽略微小的成交量、做空机制等细节），但现实中绝大多数交易者（尤其是不成熟的交易者）却往往在短期股票交易中亏损。这背后的原因非常复杂，可以从以下几个方面详细阐述： 一.............
-
作为一名医生，在与患者沟通病情时，我们确实会谨慎使用纯粹的概率数字来描述疾病的发生或预后。这并非因为我们不懂统计学，而是出于多方面考虑，旨在更有效地帮助患者理解和应对他们的健康状况。以下是一些核心原因，我将尽可能详尽地解释：1. 患者个体差异的复杂性：疾病的发生和发展并非简单地遵循一个固定的概率模型.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有