为什么我觉得逻辑证明是同义反复？
我理解你为什么会觉得逻辑证明像是同义反复。这种感觉其实挺普遍的，尤其是在我们刚接触逻辑或者对它思考不深的时候。让我来试着把这个感觉拆解开，尽量讲得细致些，希望能让你觉得更像是一个人在跟你聊这个话题，而不是什么冰冷的机器输出。
首先，我们得承认，从最表层上看，逻辑证明确实有“循环”的味道。它好像是在说：“因为A是对的，所以A是对的。” 如果你只看到这一层，那确实会觉得有点无聊，甚至有点像在绕圈子，把一个陈述用不同的词语再说一遍。
想想看，我们在做逻辑证明的时候，是怎么开始的？通常，我们会从一些最基础、最明白的“公理”或者“定义”出发。这些东西是我们一开始就接受的，不容置疑的真理。比如，“所有人都终有一死”或者“一个事物不能同时存在和不存在于同一个地方同一个状态”。这些就像是我们的出发点，是我们相信的基础。
然后呢？我们开始运用一些“推理规则”。这些规则，比如“假言推理”（如果P那么Q；现在P；所以Q），或者“同一律”（事物就是它本身），或者“无矛盾律”（事物不能同时是A又不是A）。这些规则就像是预设好的“如何把东西搬到另一个地方”的技巧。我们不能自己发明搬东西的技巧，必须用这些被大家约定俗成的、并且被证明是可靠的技巧来移动我们的“真理”。
所以，逻辑证明的整个过程，就像是这样：
1. 拿出一些我们已经接受为真的“食材”（公理、定义）。
2. 用一些大家公认的、保证能让食材安全移动的“工具”（推理规则）。
3. 把这些食材按照工具的使用方法，一点一点地“加工”（推理步骤）。
4. 最终得出一个结论。
现在，你为什么会觉得这个过程是同义反复？我觉得有几个原因可能让你产生这种感觉：
1. 起点与终点的预设性：
最直接的原因，可能就是你觉得那些公理本身就包含了结论的“种子”。换句话说，你觉得我们开始的那些“真理”，其实早就暗示了我们最终要证明的东西。例如，我们证明“如果一个数是偶数，那么它能被2整除”。我们的公理可能就是偶数的定义：“一个数是偶数，当且仅当它可以写成2k的形式，其中k是整数。” 你一看就明白，偶数能被2整除，这不就是定义本身的意思吗？
从这个角度看，逻辑证明的“真”，似乎并不是从无到有地揭示了新的事实，而是把我们已经知道的、或者隐含在定义里的东西，用更严谨、更清晰的方式表达出来。这确实有点像是在说：“因为你长得像小狗，所以你就是小狗。” 从定义出发，推导出定义本身的性质，似乎是顺理成章到近乎重复。
2. “真”的内在逻辑而非外在经验：
逻辑证明关心的是“必然性”，而不是“偶然性”。它证明的是，如果我们接受了某个前提，那么某个结论就必然随之而来。它并不需要去观察世界，去验证这个结论是否符合事实。
比如，我们证明了“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等”。我们在证明的时候，画个图，用几何公理推导一下就好了。我们不需要去测量无数个三角形。这个“真”是存在于三角形这个概念的定义和几何公理的框架之内的。
这种“内在的真”和我们日常生活中通过观察、实验获得的“外在的真”有所不同。外在的真让我们觉得有新发现，有探索感。而逻辑证明的真，更像是对现有知识体系内部一致性的确认。因此，如果你的期待是逻辑证明能带给你“哇，原来世界是这样的！”那种惊喜，那你可能会觉得它不过是在反复强调我们已经知道的那些定义和规则。
3. 语言的精确化和形式化：
逻辑证明的一个重要目的就是避免歧义和模糊。我们日常的语言充满了微妙之处，容易让人产生误解。逻辑证明通过使用精确的符号和严格的规则，把这些模糊性消除。
当你把一个日常生活中模糊的说法，转换成逻辑符号，再用逻辑规则一步步推导，最后再翻译回日常语言时，这个过程本身就可能让你觉得是在用另一种方式重复同样的事情。就好比你先是用中文说了“我想喝水”，然后把它翻译成英文“I want to drink water”，再把英文翻译回来，本质上还是“我想喝水”。逻辑证明就是把这种翻译做到极致，并且确保翻译过程中没有丢失信息，也没有增加无关的东西。所以，最终表达出来的结论，听起来就像是对初始陈述的精确化重复。
4. 缺乏“惊喜感”：
有时候，我们期待证明能带来一种智力上的“顿悟”或“惊喜”。我们希望它能揭示一些我们从未想过的联系或模式。然而，逻辑证明的本质是必然性，它不是一个发现新大陆的过程，而是一个清理地图、确认边界的过程。
好的逻辑证明，其“美”在于它的严谨、简洁和无可辩驳性。它像是一道精心设计的谜题，你看到答案时，会惊叹于其巧妙之处，而不是惊叹于答案本身有多么出人意料。因为按照游戏规则（公理和规则），那个答案是唯一且必然的。
那么，为什么我们还是要进行逻辑证明呢？它有没有超越同义反复的地方？
尽管你觉得它像同义反复，但逻辑证明之所以重要，恰恰在于它能做到：
揭示隐藏的联系： 有时候，结论并不是那么显而易见。通过一系列看似微小的步骤，我们可以从几个简单的公理出发，推导出一些非常复杂且不那么直观的结论。在这个过程中，我们才真正理解了这些结论是如何从更基础的东西那里涌现出来的。这就好比一棵大树，你看到它的叶子，但逻辑证明让你理解了它的根须是如何汲取养分，枝干是如何支撑起整个生命的。这时的“同义反复”就转化成了“因果链条的清晰呈现”。
保证知识体系的可靠性： 在数学、计算机科学、哲学等领域，精确性和可靠性是至关重要的。逻辑证明是我们确保理论体系不会出现内部矛盾、并且能够稳固建立的基石。我们之所以相信数学定理，就是因为有严谨的逻辑证明。如果没有逻辑证明，这些定理就只是一些“看起来正确”的猜测。
训练清晰的思维： 学习和进行逻辑证明的过程，本身就是一种极好的思维训练。它迫使我们精确地定义概念，清晰地组织论证，并且时刻警惕逻辑谬误。这能帮助我们在日常生活中更理智地思考问题。
所以，你觉得逻辑证明是同义反复，是非常正常的观察。它确实有“从已知推导出已知”的表象，因为它的目标是证明“必然性”。但这种“重复”，不是简单的文字复述，而是对事物内在联系的严谨梳理和确认。它就像是在说：“如果你相信我给你的这几颗种子（公理）是好的，并且你按照我教你的方法（规则）去种植和培育它们，那么你最终收获的这个果实（结论），它必然是好的，并且它的好，就是从那几颗种子里必然生发出来的。”
这个过程，与其说是同义反复，不如说是“显化必然”或者“揭示本源”。它是对“真理从何而来”的一种探究，而不是对“什么是真理”的简单重复。我希望我这样解释，能让你觉得不那么像AI，更像是一个人跟你分享一些思考，也希望这个解释能让你对逻辑证明有更深的体会。
首先，我们得承认，从最表层上看，逻辑证明确实有“循环”的味道。它好像是在说：“因为A是对的，所以A是对的。” 如果你只看到这一层，那确实会觉得有点无聊，甚至有点像在绕圈子，把一个陈述用不同的词语再说一遍。
想想看，我们在做逻辑证明的时候，是怎么开始的？通常，我们会从一些最基础、最明白的“公理”或者“定义”出发。这些东西是我们一开始就接受的，不容置疑的真理。比如，“所有人都终有一死”或者“一个事物不能同时存在和不存在于同一个地方同一个状态”。这些就像是我们的出发点，是我们相信的基础。
然后呢？我们开始运用一些“推理规则”。这些规则，比如“假言推理”（如果P那么Q；现在P；所以Q），或者“同一律”（事物就是它本身），或者“无矛盾律”（事物不能同时是A又不是A）。这些规则就像是预设好的“如何把东西搬到另一个地方”的技巧。我们不能自己发明搬东西的技巧，必须用这些被大家约定俗成的、并且被证明是可靠的技巧来移动我们的“真理”。
所以，逻辑证明的整个过程，就像是这样：
1. 拿出一些我们已经接受为真的“食材”（公理、定义）。
2. 用一些大家公认的、保证能让食材安全移动的“工具”（推理规则）。
3. 把这些食材按照工具的使用方法，一点一点地“加工”（推理步骤）。
4. 最终得出一个结论。
现在，你为什么会觉得这个过程是同义反复？我觉得有几个原因可能让你产生这种感觉：
1. 起点与终点的预设性：
最直接的原因，可能就是你觉得那些公理本身就包含了结论的“种子”。换句话说，你觉得我们开始的那些“真理”，其实早就暗示了我们最终要证明的东西。例如，我们证明“如果一个数是偶数，那么它能被2整除”。我们的公理可能就是偶数的定义：“一个数是偶数，当且仅当它可以写成2k的形式，其中k是整数。” 你一看就明白，偶数能被2整除，这不就是定义本身的意思吗？
从这个角度看，逻辑证明的“真”，似乎并不是从无到有地揭示了新的事实，而是把我们已经知道的、或者隐含在定义里的东西，用更严谨、更清晰的方式表达出来。这确实有点像是在说：“因为你长得像小狗，所以你就是小狗。” 从定义出发，推导出定义本身的性质，似乎是顺理成章到近乎重复。
2. “真”的内在逻辑而非外在经验：
逻辑证明关心的是“必然性”，而不是“偶然性”。它证明的是，如果我们接受了某个前提，那么某个结论就必然随之而来。它并不需要去观察世界，去验证这个结论是否符合事实。
比如，我们证明了“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等”。我们在证明的时候，画个图，用几何公理推导一下就好了。我们不需要去测量无数个三角形。这个“真”是存在于三角形这个概念的定义和几何公理的框架之内的。
这种“内在的真”和我们日常生活中通过观察、实验获得的“外在的真”有所不同。外在的真让我们觉得有新发现，有探索感。而逻辑证明的真，更像是对现有知识体系内部一致性的确认。因此，如果你的期待是逻辑证明能带给你“哇，原来世界是这样的！”那种惊喜，那你可能会觉得它不过是在反复强调我们已经知道的那些定义和规则。
3. 语言的精确化和形式化：
逻辑证明的一个重要目的就是避免歧义和模糊。我们日常的语言充满了微妙之处，容易让人产生误解。逻辑证明通过使用精确的符号和严格的规则，把这些模糊性消除。
当你把一个日常生活中模糊的说法，转换成逻辑符号，再用逻辑规则一步步推导，最后再翻译回日常语言时，这个过程本身就可能让你觉得是在用另一种方式重复同样的事情。就好比你先是用中文说了“我想喝水”，然后把它翻译成英文“I want to drink water”，再把英文翻译回来，本质上还是“我想喝水”。逻辑证明就是把这种翻译做到极致，并且确保翻译过程中没有丢失信息，也没有增加无关的东西。所以，最终表达出来的结论，听起来就像是对初始陈述的精确化重复。
4. 缺乏“惊喜感”：
有时候，我们期待证明能带来一种智力上的“顿悟”或“惊喜”。我们希望它能揭示一些我们从未想过的联系或模式。然而，逻辑证明的本质是必然性，它不是一个发现新大陆的过程，而是一个清理地图、确认边界的过程。
好的逻辑证明，其“美”在于它的严谨、简洁和无可辩驳性。它像是一道精心设计的谜题，你看到答案时，会惊叹于其巧妙之处，而不是惊叹于答案本身有多么出人意料。因为按照游戏规则（公理和规则），那个答案是唯一且必然的。
那么，为什么我们还是要进行逻辑证明呢？它有没有超越同义反复的地方？
尽管你觉得它像同义反复，但逻辑证明之所以重要，恰恰在于它能做到：
揭示隐藏的联系： 有时候，结论并不是那么显而易见。通过一系列看似微小的步骤，我们可以从几个简单的公理出发，推导出一些非常复杂且不那么直观的结论。在这个过程中，我们才真正理解了这些结论是如何从更基础的东西那里涌现出来的。这就好比一棵大树，你看到它的叶子，但逻辑证明让你理解了它的根须是如何汲取养分，枝干是如何支撑起整个生命的。这时的“同义反复”就转化成了“因果链条的清晰呈现”。
保证知识体系的可靠性： 在数学、计算机科学、哲学等领域，精确性和可靠性是至关重要的。逻辑证明是我们确保理论体系不会出现内部矛盾、并且能够稳固建立的基石。我们之所以相信数学定理，就是因为有严谨的逻辑证明。如果没有逻辑证明，这些定理就只是一些“看起来正确”的猜测。
训练清晰的思维： 学习和进行逻辑证明的过程，本身就是一种极好的思维训练。它迫使我们精确地定义概念，清晰地组织论证，并且时刻警惕逻辑谬误。这能帮助我们在日常生活中更理智地思考问题。
所以，你觉得逻辑证明是同义反复，是非常正常的观察。它确实有“从已知推导出已知”的表象，因为它的目标是证明“必然性”。但这种“重复”，不是简单的文字复述，而是对事物内在联系的严谨梳理和确认。它就像是在说：“如果你相信我给你的这几颗种子（公理）是好的，并且你按照我教你的方法（规则）去种植和培育它们，那么你最终收获的这个果实（结论），它必然是好的，并且它的好，就是从那几颗种子里必然生发出来的。”
这个过程，与其说是同义反复，不如说是“显化必然”或者“揭示本源”。它是对“真理从何而来”的一种探究，而不是对“什么是真理”的简单重复。我希望我这样解释，能让你觉得不那么像AI，更像是一个人跟你分享一些思考，也希望这个解释能让你对逻辑证明有更深的体会。
网友意见
逻辑的地位和法律类似。
你一辈子遵纪守法不意味你是一个成功的人，甚至不一定意味着你是一个好人（在更强的道德的意义上）。但是你打破一下法律试试看？
同理，你写一个完全符合逻辑的形式推演不意味着你写出了一个多好的数学证明，但是如果你写的数学证明不符合演绎逻辑的要求，甚至能够从中推出不一致的结果，那么这个证明基本就可以丢进垃圾桶了。
此外，（演绎）有效性是评价论证的标准之一，但是不是唯一的标准。也不是普遍适用的标准。见： 为什么假言命题不是论证？
以上。
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