全体自然数的发散级数和等于负十二分之一代表了什么？隐藏了一个天大的秘密吗？ 第1页

首先，必须再次强调：“全体自然数之和”这种说法是错误的，因为它没有指定顺序。而即使对于条件收敛级数，顺序也会影响结果。

该结果所蕴含的秘密已经由 @Narayan 解释了。我来解释下网上的视频中流传的说法为什么能得到正确结果，可以认为视频中的过程是用“分离系数法”得到的简写。

前言

为了对发散级数求和，需要用一些特殊的求和法 (summation method) 。

求和法一般有三个属性（此处用比较简略的方式描述）

Divergent series#Properties of summation methods

1. 正规：求和法对收敛级数求得柯西和（部分和的极限）

2. 线性：若求和法求得 、 ，则求得

3. 稳定：若 ，用求和法求得 ，则 ，即稳定性允许级数平移

也有时把稳定换成较弱的有限可重排：对于重排有限项，剩余项不变的另一级数，求和法给出与原级数相等的结果。

稳定相对前两者较不重要，有一些求和法不具稳定性；另外也有不满足正规和线性的求和法。

级数 不可能有正规、线性且稳定的求和法，证明如下：

假设 有正规、线性且稳定的求和法，设其和为 ，则有

产生矛盾。

阿贝尔和及其扩展

阿贝尔和 (Abel summation) 定义如下：

它是正规、线性且稳定的。

而如上所示，它不能对 求和。

此处把阿贝尔和还原成阿贝尔平均 (Abelian means) 的写法，并稍作修改：

令 ，且 解析延拓的结果在 能展开成洛朗级数 (Laurent series) ，则称 的“扩展阿贝尔和”为该级数的零次项。

称 为“扩展阿贝尔和”意义下的热核正规化和 (Zeta function regularization) 。

（这里的“扩展阿贝尔和”是我个人用的叫法，希望能提供更正确的叫法）

根据形式，这种“扩展阿贝尔和”是线性、正规的，但不一定稳定。

而且，若阿贝尔和存在，则上面的 能解析延拓到 ，且“扩展阿贝尔和”与阿贝尔和等价。

视频中求和法的展开解释

不妨将 在 展开成洛朗级数的零次项记作 。

设 的“扩展阿贝尔和”为

则

注意对于能在 展开洛朗级数的 ， ，

故 ，

即在上述“扩展阿贝尔和”的意义下：

所以（“扩展阿贝尔和”意义下）

注意 在 解析，故 ，

故 。

辅助级数求和的稳定性解释

该视频中引入了两个辅助级数

并且在对其求和的过程中用到了稳定性要求。

然而能解释加稀的“扩展阿贝尔和”并不保证稳定性。我们需要根据对应的热核正规化和说明这两个级数的“扩展阿贝尔和”求和法稳定：

的热核正规化和为

的热核正规化和为

这两个函数都在 解析，从而其洛朗级数的零次项等于函数在 的值。

对两边乘上 后，等式仍然成立，而且热核正规化和函数在 的值不变，从而可得知“扩展阿贝尔和”对这两个级数而言是稳定的。

另一方面，由于热核正规化和函数在 和正实轴上解析，“扩展阿贝尔和”就等价于阿贝尔和。

而 的热核正规化和为 ， 为此函数的极点，洛朗级数有负数次项，从而对其乘上 不保证洛朗级数的零次项不变。

总结

该视频中看起来不正确的求和方法实际上有其依据，得到 的正确结果不是巧合。

但要注意的是，求和方法背后的东西远比视频中写出来的复杂，光看视频的话离正确使用还有相当大的距离。

假设

那么

对，隐藏了 这个天大的秘密