如何判别一个方程所表征的曲线是否封闭？ 第1页

根据正则值原象定理，可以推出如下结果：

设C为方程F(x,y)=m所确定的曲线，如果F是光滑的逆紧映射，m不是临界值且其原象非空，则C为光滑闭曲线。

注1: 称F是逆紧的是指它满足紧集的原象还是紧集，即当(x,y)趋向于无界时，F(x,y)也趋向于无界。称m不是F的临界值是指F在m的任意原象点处的两个偏导数不同时消失。

注2: 当F为凸函数时，C为一个凸集的边界，因此是Jordan曲线。

注3: 该结果可推广到高维情形。

我先尝试讨论平面封闭曲线的情况。

如果给定一方程 ，将其视为一平面与一曲面的交线

这样一来，曲线是否封闭，这与曲面的几何性质直接相关。从直观上看，如果曲面在某点是椭圆点（高斯曲率为正），则平面在该点“局部”与之相交会产生封闭曲线。选取曲率线网，曲面在 点邻近的形状近似为一个二次曲面

由已知曲面在 点高斯曲率 ，由保号性可知这个性质在 的某领邻域上总是成立。此时若以平面 去截此曲面，特别地，当 ，且 充分小时，即此平面与 点的切平面平行的邻近平面，则截口形状近似地为椭圆曲线

由曲的连续性，当给 与 微小的扰动时，截口曲线仍然十分接近椭圆曲线，故为封闭曲线。

上面我们主要考虑的“孤峰”的情况，稍微增加点难度，我们考虑双峰的情况。

从上动图很容易看出截口的变化过程：起先是两个不连通的闭合曲线先后出现，然后两条闭合曲线逐渐靠近最终合并为一条封闭曲线。我们最感兴趣的是最后的状态。但是此时截口线附近的点的高斯曲率有负的情况，就比如两峰之间的峰谷附近。这个后面我在做统一讨论。

下面的一个波峰一个波谷的情况：

另外再看一个特殊情况：

设

事实上，

考察该二次曲线的不变量：

， ，

• ，则曲线为椭圆型；
• ，故曲线确实为椭圆，封闭。

考察过后种种之情况，我们尝试归纳截口线封闭的规律。