算术平均和几何平均之间还存在别的东西吗？ 第1页

你的数学感觉非常好！算术平均(arithmetic mean)和几何平均(geometric mean)之间确实有东西，即便“东西”这个词本身不是很准确。

我们先简单介绍一下本场比赛的两支球队：顾名思义，算术平均就是通过基础的算术得到两个数的平均值，所以我们定义两个数 的算术平均为 。同样的，几何平均一定和几何有些关系，那说到几何又怎能不上图^[1]：

我们拿出两根长度分别为 的棒子，一棒把 放倒，使 成为头对脚的室友，然后取 和倒下的 的中点M作圆，将这个圆和没倒下时的 的交点记为E，我们把图中线段BE的长度称为 的几何平均。我们可以通过学前班里相似三角形的概念求得两个数 的几何平均为 。这定义看似奇葩，此中却有真意：几何平均描述了两个数拥抱的紧密程度。如果两个数相差很小，也就是说他们距离很近、抱得很紧，那么他们的几何平均就会较大。相反，如果他们相差很大，想得高分也只能是痴人说梦。感兴趣的读者可自行验证 和 这两种相对应情况。

算术、几何平均两位明星已亮相完毕，再次通过学前班里的知识或者通过上图，我们不难看出 ，也就是说几何平均永远被算术平均压着锤。然而故事到此并没有结束，他们慢慢发现如果他们摒弃前嫌、齐心协力，是可以碰撞出那啥啥啥的火花的。这火花便是我们本剧的主人公——“东西”。

遥想大二数学分析的考试里，有这样一道题：给定任意两个实数 ，我们迭代地定义如下两个数列：

证明数列 收敛，并收敛至同一实数。事后来看，我们可以暂时忽略什么“数列”啊，“收敛”啊，这些不过是有钱人为了节约时间穿的名牌。我们先看看这肚子里装的到底是什么东西。上面两行式子看似张牙舞爪，但定睛一瞧，嘿，这妖精长得真像我们的算术平均和几何平均，只不过穿了一件件带数字的马甲儿。那我们就来给她一件件的脱，比如说 , 那么我们就有 ，然后继续用定义，

数学感觉好的你能看出规律吗？哈哈哈看不出就再来

就此打住，看不出来我也不算了，再算就不配学数学了。。因为我们最少可以发现两点: (1) ， 也就是说 越来越大， 越来越小。(2) 仿佛神奇般地趋近于一个固定的数。规律找到了，我们就可以通过一系列操作(i.e. 单调收敛定理)，秀出当 足够大的时候, 确确实实趋近于一个数。这个通过无数次取算术平均和几何平均后得到的、永远存在两个平均值之间的数，便是题目中所说的东西。数学家们将其称之为 的 arithmetic-geometric mean (算术-几何平均, AGM)，我们的高斯王子将其记为 .

至于高斯为什么闲着没事整个算术-几何平均出来，我们简要地呈现一些他的理由，仅供娱乐：1. 数学家们直至今日依旧费尽心机，做梦都想得到一个椭圆周长的简单表达式。即便我们可能确实还在梦里，但AGM告诉我们这个梦不算太坏。高斯证明，如果我们假设两个数 分别为一个椭圆的长轴和短轴，那么与这个椭圆相关的椭圆积分

和算术-几何平均存在着如下一个优美的关系

印度数学家Ramanujan运用以上关系的拓展，充分发挥联想与想象，在1914年推导出人类迄今为止估算椭圆周长最为精确的公式，即对于一个长轴为 ，短轴为 的椭圆，它的周长 约为

对于离心率较小的椭圆，这个公式有着惊人的准确度。就拿水星轨道( )来说，此公式给出的轨道周长误差为 米。即便对于离心率很大的哈雷彗星( )，Ramanujan公式的误差也仅有 2585米。

2. 我们还可以从上文 的例子中推断出 两个数列趋近于 的速率非常之快。算术-几何平均数的这一构造特点使得数学家们推导出 的高效计算公式

以此公式为基础的算法曾有过在25步迭代后计算出精确至 小数点后4500万位的壮举。

总而言之，这是一个我十分喜欢的问题，希望我的回答能将我对数学的喜爱分享给你。

-----------------------------------------------------------------------------------------------彩蛋：高斯在1799年证明

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参考

1. ^1 https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_mean