ln(x)取值为超越数的条件是什么？ 第1页

先说个不错的结论: 当 为 (文中多值情况不予讨论, 但结论依旧成立)或不为 的代数数时, 都为超越数. 证明将借助下图中的Lindermann-Weierstrass定理(该定理的一个比较初等简短的证明将在文章末尾给出).

Proof. 当时显然. 设 为不为 的代数数, 取主值, 我们用反证法. 如果 不为超越数, 于是

都为代数数. 由 不为超越数知道 必为某一元有理系数多项式

的根, 因而得到

线性相关. Q.E.D.

实际上, 如果借助“当 , 为非有理数的代数数, 则 为超越数”这一广为人知的数论结果的话, 形式上的可判定范围还可以更大, 我们留待读者思考(当然, 如“当且仅当 不为 的代数数次幂时, 为超越数”这样的无赖解法我将不考虑在内).

由于有些人认为问题很没意思或很显然, 我此处写一下问题的难点: 要知道 是有理数, 是超越数(利用欧拉公式 和我前面提到的数论定理), 也是超越数, 所以 是否是超越数并不能由 或 的超越性来简单判断.

补充: Lindermann-Weierstrass定理的证明(书上有些初中二年级时候做的笔迹, 字丑轻喷).