你们会觉得测度论反直觉吗？ 第1页

一点也不…

补充：首先声明一下，是我个人的疏忽，只看到“测度论”，“反直觉”几个关键词，便向从几何的角度谈一谈测度论并没有正面回答题主问题补充下面的问题。

那么我先来回答一下题主的困惑再来讨论一下测度的几何意味。实际上对于Cantor集这个问题， @林东 已经回答的很好了，实际上这涉及到一个概念Hausdorff维数，本着自己一贯喜欢啰嗦废话的风格，我会对这个概念的引入动机，一些计算方法进行一个补充，也算勉强解答了题主的困惑。

我们知道，实分析一直以来都被认为是研究一些“病态”的函数和集合，相比于我们的复分析，可以说是一个天堂，一个地狱。我们的常规研究手段或者是我们以往保持的一贯直觉，可能并不能够来处理一些比较“病态”的实例，需要引入一些新的概念手段进而也可以修正我们的数学直觉。为什么说实分析和抽象代数是学生面向现代数学的窗口？在我看来，实分析告诉你：我们普遍固有的直觉不一定是正确的，因而我们需要严密的证明体系来验证我们的直觉是否正确，并进一步修正我们的直觉。所以很多看似显然的结论，我们仍然需要进行严格证明。这是实分析能够带给你的一种思维习惯。

而不幸的是，作为“数学精神病院”的一员，我们的Cantor集也仍然是其中的“佼佼者”，它是一个很特殊的例子。正如题主所困惑的，为什么基数相同，测度却可以不同呢？当然了，我们的基数和测度之间没有什么必然联系，但是在直觉上，我们总认为这两者之间有某种等价关系，不光是题主这样想，曾经的数学家说不定也是这样的想法。而实际上，基数与我们的维数之间也没有必然联系，但可能在很多人看来，基数和维数的关系会比基数和测度的关系还要强一些。关于这一点，我这里可以给一个比Cantor三分集更常见且有趣的例子，著名的Peano曲线，利用一维的曲线可以填满我们的二维正方形，此时，曲线与正方形建立了一一对应，但是它们的维数显然不同。

而我们的测度是给予集合一个标尺，进而来对我们的集合进行一个度量比较，这样一个度量实际上就必然会牵涉到几何上的“维度”问题，当我们在处理一些“高维测度”的时候，或者是 中相对低维的点集的时候，传统的Lebesgue手段是难以解决的，显然用“相对高维”的测度来处理低维集合时，得到的会是零测集（直观上看，可以用很小的 维方体紧密覆盖我们的 维集合空间（ ），方体体积之和太小了，几乎可以忽略不计，因而在 维外测度中我们的低维集合零测）。更可怕的是，是否有可能存在分数维度呢？ 这就牵引出了两条分支，一个是我们的抽象测度（准确地说应该是Carathéodory外测度），另一个则是我们今天的主题Hausdorff测度。要想了解我们的Hausdorff测度，首先需要对于维数这一概念进行明确。

我们正常的维数的定义是通过坐标参数化实现的，这种代数概念的维度实际上并不能推广到分数维，而且维数本身也依赖于坐标的选取。而在数学上种种现象又暗示我们需要引入分数维度（例如一些分形的现象），如何在空间的坐标等不断变换的时候定义它的维数呢？那么我们显然只能从几何上来重新得到我们的“维数”观念，这个概念的得到依赖于我们的拓扑学，需要借助我们判断两个拓扑空间是否等价的概念——同胚。如果一个拓扑空间（假定是Hausdorff空间）同胚于 ，那么它的维数也应该与 相同。

同胚映射的好处在于它可以将一个拓扑空间中的开集映射到另一个拓扑空间的开集中，并且存在对应的逆映射。这就帮助我们找到了普适的维度观念而一定程度摆脱了坐标系的选取（实际上这时的维数与拓扑基的个数有关），因此拓扑空间的维数定义是通过开覆盖给出的。遗憾的是，拓扑维数仍然只能处理维数 的情况。于是发展了利用开覆盖定义维数这一观点，Hausdorff正式提出了分形维数，真正进入到处理Cantor三分集与Peano曲线的时代。

那么，如何计算分形维数呢？我们首先给出分形维数的计算公式： ，之所以要先给出这个公式(这个公式来自万能的百度百科)，一方面，这个公式方便直观理解；另一方面，它具有很好的直观意义。但是，这个公式实际上并不适合拿来进行计算，同时它的公式本身也没有太多可以追究的东西。

式中 是小立方体一边的长度， 是用此小立方体覆盖被测形体所得的数目，维数公式意味着通过用边长为 的小立方体覆盖被测形体来确定形体的维数。对于通常的规则物体 ，覆盖一根单位长度的线段所需的方体数目为 ，覆盖一个单位边长的正方形， ，覆盖单位边长的立方体， ,依此类推。

实际上从这个公式中我们可以直观感受到分形维数的“覆盖”思想，而这种覆盖与我们的测度之间也存在一定联系。实际上如果不借助“Hausdorff测度”，要想计算"Hausdorff维数"是很困难的。实际上细心的读者可能会发现，我并没有特意区分"Hausdorff测度"与“Hausdorff维数”。这是因为很大程度上，我们的"Hausdorff维数"的计算都需要借助我们的"Hausdorff测度"。

在上面的直观基础之上，可以抽象出更严谨的Hausdorff测度概念：

.（这还不是我们的Hausdorff测度，我们的Hausdorff测度还需要取极限）

其中 是指集合 的直径，即 ，

对于一个集合 ，它的Hausdorff测度为： .

我们的Hausdorff测度满足：

对于 ,如果 ,

那么 ;如果 ,那么 .

这是符合我们的直觉的。

借助上面的概念，我们可以得到Hausdorff维数：

对于 , .

显然我们会有：如果 ，那么 .

这实际上就说明我们的 中存在着低维点集（尽管是句废话，但是还是说一下），于是我们可以正式计算Cantor三分集的分形维数了（准确来说，Cantor类的集合分形维数都能够进行计算）。

我们的Cantor集 ,叫做 的第一层分解。

其中 是两个线性映射： .

实际上我们还可以对上式进行迭代，得到 的 层分解。实际上，这种分解可以看作是一种特殊的压缩映射。

为了能够计算 的Hausdorff维数，我们需要给出有关压缩映射的一些定义和性质：

对于集合 ，我们可以固定一族映射 ,其中 ,使得每个映射 ,有： 其中 是一个正交矩阵， 这里的 被称为 的压缩比例。

这时，我们可以找到唯一的一个紧集 ，使得它关于映射族 满足：

这个集合 称为关于映射族 的不变集合（关于集合 的存在性需要依托Banach压缩映射定理）。

如果一个集合 关于某个映射族 不变，且满足开集分离条件，我们称集合 关于映射族 满足自相似性质， 称为相似映射。

关于自相似的集合与映射族，Hausdorff给出了如下定理：

如果集合S关于某个映射族 自相似，那么存在唯一的数 使得 .这个 就是该集合的Hausdorff维数。

于是，我们的Cantor集 由于：

所以 .

总之，我们的Cantor三分集的维数小于1，当你用一维Lebesgue测度来测量Cantor集的“长度”时，得到的会是我们的零测集。如果有错误或者表述问题欢迎指正！

以下是原回答

你认为测度反直觉，只是你不愿意培养正确的数学直觉。实际上测度具有深厚的几何背景。另外，基数是集合论的内容，我们的测度虽然也依托于选择公理，却与集合论的研究角度存在很大差异。基数相同而测度不同，就像一个人语文好，不一定数学也好一样。我们的 维空间看起来也反直觉，现在却成为了很多领域必不可少的基础概念。而我们的拓扑的定义（就那个集合化的定义）初看非常地抽象而无用，但很少人会认为拓扑是不直观的（尤其是低维拓扑），我们应该建立一个正确的直觉再来谈是否符合我们的直觉。下面我们来稍微讨论一下测度的直观性（逻辑很乱，因为没怎么睡觉）。

首先，从分析学和集合论的观点，测度是一个能够赋予实数集簇中的每一个集合一个非负扩充实数的集函数。这个概念并不抽象。实际上从字面意义上来理解，测度就是给我们的集合一个统一的标准，方便我们进行比较分类，这样的思想在拓扑学中也很常见，在拓扑学中我们也时常试图找到某种代数或者拓扑结构来对我们的拓扑空间进行分类。例如我们的代数拓扑，就梦想找到这样一个拓扑不变量（一个函子 ） ,对每个 中的拓扑空间 定义一个群 ，对每一个连续映射 定义一个群同态 ,当 时（同构），也会有我们的 是一个同胚映射。

那么测度有怎样的几何意义呢，又具备哪些良好的性质呢？首先我们来考虑测度的几何意义，我们定义 的 维勒贝格外测度为： .可以理解为利用 维正方体去紧密覆盖我们的集合空间得到的最小体积。如果一个集合 是勒贝格可测的，那么对于任意的集合 ,都有 ，也就是说，可测集将任意集合分为两部分，并且这两部分的外测度之和与原来集合外测度相同。

看到这里，我们应该能够大概清楚，测度论在很大程度上和集合的“覆盖”有一定联系，这样的覆盖往往牵涉到我们拓扑空间的紧致，连通等等性质；与此同时，我们的所谓的“高维测度”也很难从单纯的分析学上进行一个很好的研究，需要借助我们的几何手段对于高维测度的性质进行一个研究，实际上我们的可测性与连续性之间存在密切联系，而拓扑在很大程度上是一门研究连续（或者说整体性）的数学。这里会有一个重要的概念，Lipschitz映射，由这个概念可以引出 可积集的概念。可求积性质可以看成是一阶光滑流形的某种推广，而Lipschitz映射本身也蕴含了正交射影与仿射空间的几何信息。这实际上就是我们的几何测度论的基础。我们的几何测度论的引入动机就是：处理曲面维数超过2或者是 中的低维点集的测度。

另一方面，对于可积性和光滑性，de Rham为了研究Hodge理论引入了流的相关概念，而这个概念完美地符合了我们的要求——既能够保留微分流形光滑性与整系数多面体链的组合性质的良好信息，同时又能满足变分的需要。这同时也为我们的变分法引入了新的几何方法。在实分析中我们有一个“有界变差”的概念，在几何测度论角度下，有界变差可以视作是“弱”可微性质。而这种弱可微在极小曲面的理论中将会成为强大工具。回到对于“流”的讨论中来，对于一个流 ，我们可以引入一个边缘算子 , , 为外微分运算，如果 能表示为 , 都是可求积流，则称 为整平坦链。利用边缘算子可以建立这类流的同调理论。它与局部李普希茨范畴内的、整系数的经典奇异同调论同构，这就将代数拓扑与测度论联系起来了。因此，我们可以看出，测度论是极具几何意味的，而几何通常都是直观 的（这种直观相对于代数而言）。

我们最应该建立起的观念我认为是：实数域和欧氏空间不是数学的全部，结构才是数学的灵魂。当你站在一个足够高的角度看你曾经驻足的 时，你将会看到很多，首先就是连续性，它不需要借助度量来实现，而是仅仅定义我们的“开”的集合与邻域（当然还有我们的拓扑学公理）就可以做到，而引入度量则会给我们带来更多良好的性质，带给我们研究距离的强大工具，并且带领我们进入一个熟悉的“数”的领域。类似的，还有我们研究映射之间关系的代数结构，研究数的序结构。就像Bourbaki所宣扬的那样，赋予一定的结构，就会有数学存在。

测度论发展至今，已经成为了一门在几何上很“美”的数学，具有不亚于复分析的优美结构。说这样漂亮的数学是反直觉的，实在是太过分了...