SU(4)和SO(6)的“自由度”都是15，它们具有同态关系吗? 第1页

事实上，存在 到 的李群同态, 同时是一个 -cover.

不同“系列”的紧李群之间的比较是一个很有趣的话题。作为引子，我们先简单的介绍熟知的 -cover

要构造这样一个, 即等同于构造一个 在上的保距保定向线性映射。我们恰好有这样一个构造，即 在其李代数 上的共轭作用。于是我们有了李群同态. 由一些初等运算可知 的 kernel 为二阶群。另一方面，利用李群的群结构给出的平移作用可知，李群的同态为纤维丛。于是，的像是 的一些道路连通分支的并集。又因为 是道路连通的，所以 是满的。这样，我们证明了 是一个 -cover.

类似地，我们来构造

即构造一个 在 上的保距保定向线性作用。考虑 与它自己的外积 . 它作为复线性空间的维数是 . 此外，自带的Hermitian内积诱导出 上的一个Hermitian内积，记作. 令 为 的一组基。

定义上的共轭线性变换

如下：对于任意的, 满足

引理1：设 , 则自同态 满足.

证明：只需注意到内积和顶维外积 在作用下不变。

作为上的实线性变换， 有特征值和, 其对应的特征子空间分别记为, . 可以直接验证的一组基为

于是是维实线性空间。

由引理1可知，是在上的作用的不变子空间。因为作用是等距的，所以我们得到了李群同态

因为 是连通的，实际上我们有

经过一些初等计算可知，的kernel是二阶群。类似与前文对的讨论可知, 是一个2-cover.

在这个故事中，李群也是重要的角色。这一点在知友@Mynor的回答中出现了。一般地，我们有李群同态, 也是2-cover. 事实上，在时，这个2-cover就是上文中提到的。换句话说，我们有, .

本回答参考了StackExchange上的讨论https://math.stackexchange.com/questions/2985224/the-map-from-su4-to-so6/2985598。

更多相关的讨论可见如下论文：https://core.ac.uk/download/pdf/148777471.pdf。

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