r个线性无关n维向量r<n的所有r阶子的平方和等于这r个向量张成平行体的体积的平方吗？怎么证明？ 第1页

这就是 阶外向量空间上的勾股定理。若用 表示向量空间 上的内积，则 上的两个 形式 的内积定义为 。当 时这个内积就退化为 上的内积。

现在令 是一个 维向量空间， 是如下的投影：

。

它取前 个分量，将其它分量清零。这个投影诱导了上的（到一个一维子空间的）投影：

。

如果我们不只是取前 个分量，而是在 个分量中任取 个，我们会得到另一个投影。这样的投影一共有 个，它们在上诱导了 个到一维子空间的投影，我们将证明这些一维子空间都是正交的，而 又恰好是的维数。要证明的结论其实就是如下的事实：

任意上的向量，它的模的平方，等于它到 个互相正交的一维子空间上投影的模的平方和。

而这就是勾股定理的内容。

我们先举一个例子来说明以上内容。取 ，取两个 中的向量 ， 。将这俩排成一个矩阵

，

首先注意到 张成的平行四边形面积就是外向量 的模：

。

第一个投影 （将第三个分量清零）将 映射成 ，它俩的外积的模是

。

它等于 的第一个 阶子式的行列式。类似的计算 ， 。从而可以验证平方和等式 。

下面证明上述结论。先说明确实是到一维子空间的正交投影。这是因为 的像空间是 维的，而 维线性空间上的 阶外向量空间的维数 。而由 幂等和对称，知道上述诱导映射也是幂等且对称的，从而确实是到像空间上的正交投影。

然后说明不同的投影诱导的 上的投影的像空间互相正交。如果 是 上两个不同的投影，两个向量 做内积时，被清零的那些分量没有贡献。比如如果

那么 ，

也就是说，对内积起作用的分量指标，是两个像空间的非零指标集的交，也就是投影 的非零指标集。从而可以得到

。

注意到如果 ，那么 的像空间维数小于 。从而如果 是一个 形式，那么 （低于 维空间中的 形式都是零）。

这样两个投影将会正交，这是因为

最后一个式子内积的两个向量都是零。