很好奇，如何证明行列式就是高维多边形体积？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
正交基
立方体的体积最容易理解。
设两个非零正交的向量
那么以他们为邻边的矩形面积为：
若是三个两两正交的非零向量，则有
于是容易将 维立方体体积公式推广为
为了方便，我将这组向量组成的矩阵记为
而正交向量总可以通过旋转得到标准正交基：
其中 是正交阵（ ）， 是对角矩阵， 是单位阵，并且
https://www.zhihu.com/video/1144305035453190144
由前面的 维立方体体积公式，恰好
所以，对于正交向量组，体积与行列式的关系如上，其中符号是为了区别左右手坐标系。
一般基
对于非正交基 ，我们该如何度量其所构成的体积？
由高等代数知识可知， 可以被正交阵 对角化
为对角阵（一组正交基）；又由上面的讨论，我们知道正交阵不改变体积，于是
所以，对于一般基而言，其体积同样等于其行列式的绝对值。
友情提示：
- 为正交阵，则
1
相关话题
为什么偏序集里的哈斯图不能有三角形呢？求证明过程？是否存在五个面都为三角形的五面体？
在不引入坐标系的情况下能不能定义向量的方向？
一个三阶行列式，所有的元素要么是 1，要么是 -1，则它的值可能是多少？
标记 n 维空间中任意一个点/向量一定要用 n 个坐标吗？
牛顿莱布尼兹公式指出求导和积分互为逆运算。从几何的角度看求斜率和求面积似乎并没有直接联系？
如何证明圆上若干点构成的多边形最大面积在正多边形时取到？
Riesz引理的直观理解或者是几何意义是什么?
为什么大学的课程（例如高数、线性代数）比高中难很多，老师却讲的比高中快几倍，作业也非常少？
想请问平坦模、投射模这些的几何意义是什么，感觉atiyah这本书的定义有些干巴巴的.......？
前一个讨论
为何可逆上三角形矩阵的逆矩阵也是上三角形矩阵？
下一个讨论
圆的半径为 1，求其内接正五边形边长？
相关的话题
五点共圆几何问题中有什么拍案叫绝的巧合？如果一条线其长度用圆周率来表示那么它应是一条线段还是一条无限延伸的是极其缓慢的一条射线或是一条直线?
有哪些有趣的或者是反常识的数学问题？
曲率处处不为零的闭曲线只能是闭凸曲线吗？
如何只使用折叠的方法十等分一个线段或者绳子？
将斐波那契数列从左到右、从上往下地依次填入一个n*n的矩阵中，当n≥3时，行列式是否一定为0？
有哪些用偏几何的方法来得到代数问题的优美解答的例子？
一个直径为1的圆，最少多少个直径小于1的圆可以覆盖？
面积与体积的精确定义究竟是什么？
解决初等几何题目使用辅助线的逻辑原理是什么？
为什么行阶梯矩阵是这样的呢？
数学中对于直线、平面的定义是什么？
线性代数里的合同关系在空间中代表了什么呢？
标记 n 维空间中任意一个点/向量一定要用 n 个坐标吗？
线性代数里的合同关系在空间中代表了什么呢？
线性代数里面的矩阵是不是向量？假如是的话，为什么感觉这样的向量和几何里的向量有点不一样？
为什么该图形红蓝面积相等?
想请问平坦模、投射模这些的几何意义是什么，感觉atiyah这本书的定义有些干巴巴的.......？
为什么任给一个圆，它的圆周长和直径比值都是常数？
祖冲之的割圆术求圆周率是否过于繁琐？
如何计算一组三维空间角度数据的方差（或者说离散程度）？
为什么许多问题几何性质很明确，但却还要证明呢？
微分流形与黎曼几何有什么关系？
矩阵相乘的变换为什么总会伴随“颠倒”顺序？
量子力学的Dirac符号系统优越性在哪，为什么不使用张量作为量子力学的数学语言基础？
为什么正方体有十一种展开图？
为什么帕斯卡定理涉及的恰好是内接「六」边形？
除了行列式的值为0外，还有哪几种情况矩阵不可逆？
有哪些式子行列式答案等于520？
家有毕业班的中学生，想知道“平行线分线段成比例定理”如何证明？思路是什么？