很好奇，如何证明行列式就是高维多边形体积？ 第1页
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正交基
立方体的体积最容易理解。
设两个非零正交的向量
那么以他们为邻边的矩形面积为：
若是三个两两正交的非零向量，则有
于是容易将 维立方体体积公式推广为
为了方便，我将这组向量组成的矩阵记为
而正交向量总可以通过旋转得到标准正交基：
其中 是正交阵（ ）， 是对角矩阵， 是单位阵，并且
https://www.zhihu.com/video/1144305035453190144
由前面的 维立方体体积公式，恰好
所以，对于正交向量组，体积与行列式的关系如上，其中符号是为了区别左右手坐标系。
一般基
对于非正交基 ，我们该如何度量其所构成的体积？
由高等代数知识可知， 可以被正交阵 对角化
为对角阵（一组正交基）；又由上面的讨论，我们知道正交阵不改变体积，于是
所以，对于一般基而言，其体积同样等于其行列式的绝对值。
友情提示：
- 为正交阵，则
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