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二次型的惯性定理中「惯性」是什么意思? 第1页

  

user avatar   shuang-cheng-xue 网友的相关建议: 
      

先声明一下,你这命题不是正确的。正确的命题应该是这样的:

惯性定理:有限的二次型(定理所指不是复二次型)的规范形(应该是“形”而非“型”)唯一。

因为惯性定理,所以才定义了正负惯性指数等等概念。

之后,由于实数域上的正定性与复数域的正定性不同,命题的推广受到一定影响。这定理说明对于实二次型,正负惯性指数(或者正惯性指数+秩)便可以完全决定相合类(以相合这个二元关系作为等价关系进行划分,因为二次型矩阵阶数与秩的差就是规范形中系数为0的项个数,系数为1和-1的分别由正负惯性指数唯一确定,二者之和即为矩阵的秩);但是对于复数域,由于正定性改变,便只需要矩阵的秩了。

所以,对于有限的实二次型,矩阵的秩和正惯性指数完全决定了这个二次型所在的相合类。或者说秩与正惯性指数是相合关系下的完全不变量

根据A.H.柯斯特利金《代数学引论》第二卷第1章第4目(Page 35)的注解,“二次型的惯性定律归功于Sylvester,起源于力学”,可能是当年老先生的时代“完全不变量”这种几何术语还没有,又加之其研究的是力学问题,这种像是物体固有属性的东西不知道叫什么好,所以就起了一个俗名“惯性”吧。

说这些主要是希望题主明白,所谓惯性定理,只是陈述秩与正惯性指数是相合关系下的完全不变量这件事而已。




  

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