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怎样解释矩阵乘法的不可交换性? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

前面的朋友说得都非常好,我从线性变换的角度说一下矩阵乘法的不可交换性。


线性变换的乘法:

首先考虑两个线性变换AB (在给定一组基下,它们所对应的矩阵是A和B),对某向量x,我们定义对它进行A变换,得到的结果进行B变换,记为:

BA(x):=B(A(x))

BA我们记为:

AB(x):=A(B(x))

以上两者在给定一组基下,可以对应对矩阵的运算,即(BA)x和(AB)x.


线性变换的几何意义

比如说,线性变换可以将一个正方体映射为一个平行六面体,可以将某个几何体投影到某平面上(这反映到矩阵中就是不满秩的)。总而言之,就是在特定的几个方向进行伸缩

(特定的几个方向实际上与特征向量有关)


说明

两线性变换的乘法交换的结果对x的作用一般是不同的。

比如恰好A把x所在的线性子空间“压缩”为零空间(x是A核中的元素);而对于B并非如此此,Bx非但不为零,并且不在的A核中,于是我们有:

BA(x)=B(A(x))=B(0)=0

但是

AB(x)=A(B(x))非零


用这个思路可以举出无数的例子。


补充:

在上面讲述的过程中,我为了避免麻烦,故意将矩阵、向量的级数问题忽略,这个应该没什么大问题。如果存在矩阵和向量不能相乘的情况,我们可以通过增加零行、零列、零元素,使相乘两者级数一致,我想这不是什么难事。




  

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