如何理解命题「矩阵可对角化等价于其所有特征值的代数重数等于几何重数」？ 第1页

你把重数理解成某个子空间的维数就可以了。

此时你需要脱离矩阵的限制，来到空间理论上，因为我们一般把矩阵的可对角化理解成空间V可以写成A特征子空间的直和。

但是对任意线性变换是很难做到这一点的（往后你就会发现几乎所有的线性变换都可对角化，这需要用测度论的知识），所以我们退而求其次，我们考虑V的根子空间分解

这是Hamilton -Cayley定理的直接推论，这是所有数学专业本科生都应该掌握其证明的定理，而如果想要把这个定理升级成特征子空间分解就必须做到让对应特征值的这两种子空间相等，同时我们注意到特征子空间一定是根子空间的子空间（想想为什么），所以想让这两个子空间相等只需要让二者的维数相等。

这就是我们熟知的几何重数等于代数重数的解释。

因为几何重数说的是特征子空间的维数，而代数重数说的是根子空间的维数，也就是这个定理：

这里的rk是特征值在特征多项式的重数，也就是常说的代数重数。

具体的证明过程你可以参考我的推文

以上。

这个命题怎么迷了……（正在复习矩阵分析final，知乎再次给我推了线代问题，真是无情）

大概题主还没学Jordan Canonical form（百度百科：Jordan标准型）。学了Jordan标准型，这个结论就很显而易见了。

贴个图，来源是Horn和Johnson的《矩阵分析》第三章：

每一个矩阵 都可以写成 , 其中这个J就是图上所说的Jordan矩阵（诸多Jordan块的直和）。注意在给定了特征值的顺序的情况下，Jordan矩阵是唯一的。

Jordan矩阵的每个Jordan块 都包含了特征值的信息：找代数重数，可以数特征值在对角线上出现了几次；而几何重数，就是该特征值出现在多少个Jordan块里。

如果一个矩阵可以对角化，那这个Jordan矩阵就是一个对角矩阵。那么，所有的Jordan块都是1x1的小方块，所以 “特征值在对角线上出现了几次” = “特征值出现在多少个Jordan块里”，也就是代数重数=几何重数。

不知道听起来会不会有点难懂……有问题可以评论区问。