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为什么n维欧式空间中的单位球面(n-1 sphere)的表面积和体积,在 n 趋于 ∞ 时,都趋于0? 第1页

  

user avatar   weiyinfu 网友的相关建议: 
      

首先定义一个概念:n维维度积

1维维度积是长度

2维维度积是面积

3维维度积是体积

4维的维度积是什么?


随着维度的增加,每添加一个维度,都会产生一种新的概念:n维维度积。

n维空间中的生物的度量衡有n种,因为有n种维度积。

我们生活在3维空间,度量衡有长度,面积,体积。

0维空间只有一个点,它没有维度积,因为它只有一个点,什么也没有,像宇宙大爆炸之前的状态。

1维空间的组成元素是线,它的度量方式是长度。

2维空间的组成元素是面,它的度量方式是面积。

3维空间的组成元素是体,它的度量方式是体积。


不妨给4维,5维空间起个名字:点,线,面,体,山,海,天

4维的维度积叫山积,5维的维度积叫海积,6维的维度积叫天积


现在我们讨论的是单位球,4维单位球的“表面积”其实是3维积(体积),正如3维球体的表面积是2维积(面积)一样。

所以,不同维度的单位球的维度积完全是没有可比性的,因为它们的单位不一样。如果硬要比较,那就犹如在拿二维单位球(圆)的周长跟三维单位球的表面积进行比较。

给定一个n维单位球,它只有n维维度积和n-1维维度积两个属性。圆有面积和周长两个属性,球有体积和面积两个属性,但是三维球却没有1维维度积属性,因为球没有周长。

所以,这个问题应该这么描述:为什么n维空间单位球的(n-1)维积在n=7的时候达到极大,最后随着n增大变得很小?

其实这个问题,把单位球的n-1维积改成n维积也有同样的现象,体积在n=5的时候达到极大。


为什么单位球的维度积有极大值这种现象而非单调的?

从公式上解释:n维球体的n维积公式为:

n维球体的n-1维积其实就是n*f(n)。n维球对n维积求导就得到n-1维积。

观察n维球的n维维度积可以发现,n维球随着n增大,每次大概乘以2pi,却要除以n,所以在2pi附近就会出现极值。偶维球n维积最大时n=5,奇维球n维积最大时n=6,5维大于六维。而表面积则是在7维达到极值。

从概率上解释:球其实就是进行n次随机实验(每次在-R到R区间上随机采样),得到n个数值,这些数值的平方和小于R平方的概率。当n比较大时,最终的平方和大概率超过R平方,正所谓:“长江尚有回头日,岂可人无得运时”。

在n维边长为2R的正方体中随机选一个点,这个点落在n维球中的概率随着n增大单调减小(并不会出现极值)。n维空间中的正方体有2^n个角落,每个角落的n维积都趋向于R^n,所以f(n)其实是n维球的n维积跟一个角落的比值,这个比值会出现极值。


user avatar   inversioner 网友的相关建议: 
      

emmm这为什么反直觉呢?

对于高维空间我们根本毫无直觉可言啊。

而且就算只看三个维度:

考虑用一个有限的n维立方体(假设边长是2)装n维单位球。随着维度升高,也可以明显地看到n维球的测度与n维立方体的测度之比在缩小。n=1是100%;n=2是pi/4≈78.5%;n=3是pi/6≈52.4%。如此速度的衰减,虽然直观上不一定就能说趋于0,但也不至于「反直觉」吧。




  

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