数学中为什么要定义各种空间？ 第1页

给紧支集的光滑函数组成的集合不同的度量，紧化之后得到的空间完全不一样，这就是为什么泛函分析中会有各种各样的空间。比如我们考虑平方积分再开方所定义的度量

紧化之后就成了 空间，这是一个Hilbert空间，里面有一个自然的内积

而如果我们考虑 度量

其中 ，那么紧化之后就得到了 空间，它就不是Hilbert空间，只是一个Banach空间。

当然最有用的还是加入了导数积分的度量，我们叫它Sobolev度量：

它兼顾了函数本身的大小和它的导数的大小。用这个度量紧化之后得到的空间就是Sobolev空间。对于Sobolev空间，我们就有各种Sobolev嵌入定理说明空间中的函数实际是有很好的光滑性的。

当然我们还可以把函数看成是函数空间上的线性泛函，这样可以定义函数空间的线性泛函上的弱星拓扑。

为什么要考虑这些度量紧化后的空间呢？这是因为我们在做分析，或解微分方程的时候，常常需要取极限，而第一，光滑函数取极限之后不一定是光滑函数；第二，在不同度量下取极限得到的极限会完全不一样。

比如人们在解偏微分方程的时候，常常要在更宽松的条件下求出一个解，这个解称为弱解。它可能只在分布意义下存在（也就是等式左右两边都看成线性泛函的时候是相等的）。然后再用各种估计证明出这个解实际是在某个Sobolev空间中，最后再用Sobolev嵌入定理证明这个弱解实际上就是真实意义上的解。