有没有对隐函数求导公式的几何理解？ 第1页

假设 满足隐函数定理的条件， 可以确定平面一段曲线；也可以理解为二元函数 的 等值线.

微分的概念本来就源自几何. 设在 点出的全微分

全微分体现了二元（多元）函数在各个分量 的增长速率 ，由线性代数知识可知，将 视为一组局部基，那么由它的线性组合一定可以生成过 处全部切方向. 有没有发现，全微分并没有指明 与 的具体关系，但又或者说，全微分蕴含了一切可能（物理学中称之为虚位移），这也某种意义上是微分形式不变性的体现，此处就不多讲了.

那么，我们所关心的隐函数一定也被蕴含其中，也就是说，曲面 上的曲线 在一点 的切方向可以线性表示为

你问我 是谁，不是别人，就是 的全微分——

那么由 可知

还没完，看看 有没有感觉到熟悉的味道，

这说明这两个向量正交. 这是怎么回事？如果熟悉梯度 的几何含义，那么这件事立刻变得明朗起来：梯度是曲面增长速度最快的方向，它与等值线（面）垂直. 因为如果曲线 只是在 上逗留，那么对于 的增长毫无贡献，也就是它在增长方向的投影分量为 0.

所以隐函数求导公式事实上讲得是梯度与等值面正交的事情.