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有没有对隐函数求导公式的几何理解? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

假设 满足隐函数定理的条件, 可以确定平面一段曲线;也可以理解为二元函数 的 等值线.


微分的概念本来就源自几何. 设在 点出的全微分

全微分体现了二元(多元)函数在各个分量 的增长速率 ,由线性代数知识可知,将 视为一组局部基,那么由它的线性组合一定可以生成过 处全部切方向. 有没有发现,全微分并没有指明 与 的具体关系,但又或者说,全微分蕴含了一切可能(物理学中称之为虚位移),这也某种意义上是微分形式不变性的体现,此处就不多讲了.

那么,我们所关心的隐函数一定也被蕴含其中,也就是说,曲面 上的曲线 在一点 的切方向可以线性表示为

你问我 是谁,不是别人,就是 的全微分——

那么由 可知

还没完,看看 有没有感觉到熟悉的味道,

这说明这两个向量正交. 这是怎么回事?如果熟悉梯度 的几何含义,那么这件事立刻变得明朗起来:梯度是曲面增长速度最快的方向,它与等值线(面)垂直. 因为如果曲线 只是在 上逗留,那么对于 的增长毫无贡献,也就是它在增长方向的投影分量为 0.

所以隐函数求导公式事实上讲得是梯度与等值面正交的事情.





  

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