又是这个可爱的小朋友邀请我,真是盛情难却啊(划掉)
好久不见,是我,美⑨
=======我是一条分割线=======
先说结论,这个式子是正确的(鼓掌)
(感觉这篇回答可能会成为我的第一个贝塞尔函数的介绍帖)
第一类贝塞尔函数(Bessel function) : 是如下方程的解
其中 被称作方程的阶,可以是任何实数或者复数
这个方程有两个奇点, 是正则奇点, 是非正则奇点。
由于微分方程方面的内容和本题有点关系,所以打算简单讲讲。
=========我是第二条分割线==========
本来是打算写在回答里的,但是似乎太长,而且可以水一篇文章 (划掉
然后就放在文章里了,文章链接
作代换 , 得到了之前我们在文章里讨论的那类方程
得到积分解的形式是
我们可以把 化成
其中 是任意常数, 积分路线应使
于是,我们得到了贝塞尔方程的积分形式解
其中路径 取 到 的直线段,因为路线的端点上 , 此围道可行.
关于常数 , 我们知道 , 当 , 把 作级数展开比对系数易得
所以得出
然后令 , 我们得到
右半边积分从0裂开来
把2移过去
得到一个同样很常用的积分式子
类似的,我们能得到正弦的形式
接下来就和 罗旻杰 的回答一样了
顺便来点补充的吧
在 中令
我们得到
简单化简一下,我们就可以得到一个更有名的式子
这个形式被称作贝塞尔函数的泊松(Poisson)积分表达式