如何估计交集测度大小？ 第1页

我还是来详细写写这个题吧，就是用评论区说的vitali covering（虽然原定理是关于球的，但立方体的同理，询问过题主立方体不能是倾斜的了。证明见本文最后），并且把系数 加强到 。

首先注意到 是可测集，因为 是开立方体的并集，即开集。

先讨论 是有限集 的情形。根据vitali covering，存在其中无交的立方体 （ ）使得 。因此

再讨论一般的 的情形。因为 有界，所以测度有限，因此对任何 ，存在紧集 使得 ^[1]。因为 ，所以存在有限子覆盖 使得 。令 。根据刚才有限情形已证的，

故

这是对任何 都成立的，因此

附：立方体版本的vitali covering的证明：

引理 如果 是一系列开立方体，则存在其中无交的立方体 使得 ，其中 。

证明：（来自Stein^[2]）一个非常关键的观察是，如果立方体 （下图黑色，设边长为 ）与立方体 （下图绿色）相交，且 比 稍小一点，那么 一定落在以 的中心为中心，边长为 的立方体 （下图蓝色）内。

因此，

所以我们可以这样选无交的 ：先从 选最大的（记为 ），然后删掉与 相交的。那么删掉的恰好都在 内。此时选出的 占（选出+删掉）的测度比例就至少是 。依次这样操作。每一轮选出的占（选出+删掉）的测度比例都至少是 ，因此命题得证。

参考

1. ^ Stein, Real Analysis, Chapter 1, Theorem 3.4(iii)
2. ^ Stein, Real Analysis, Chapter 3, Lemma 1.2