如何证明这道波动方程Cauchy问题解的不等式(先验估计或最大模模估计)？ 第1页

的情形：

（不妨设 等于1）

对于第二项（含偏导的那一项），里面的积分通过换元可以把 变成 ，这样求导就可以放在积分号内，然后再把 转回到 ，可得第二项其实是

然后由条件，积分区域可以把 改写为 .

只关心 非常大的情况（比如， ）。设 . 则可以看出其实只需估计 的阶即可。

设 。不妨设 （否则积分为零）

将积分区域 拆成 与 ，其中 .

对于 ， 上的积分小于等于

对于 ，不妨设 （否则， ，积分是0）

（为什么是空集？如果 ，则 。倘若 ，则 ，与 矛盾）

我们分两种情况。

第一种情况，假若 ，则此时 。以 为圆心建立极坐标，由对称性不妨设 被夹在 , 之间

转成极坐标积分得

注意到这是关于 递增的函数，并且之前设过 ，所以该积分小于等于

第二种情况，假若 不是完全落在 内，则 被夹在 , 之间。

转换成极坐标积分得

也就是说，不管哪种情况，都有 上的积分小于等于 . 最后我们利用几何条件确定

回想 上有 。我们有

因此， 上的积分小于等于

最终，原积分 ，这就是我们要的。