测度论中，环为什么不一定是σ环？
在测度论的框架下，“环”和“σ环”是描述集合族重要概念，它们在构建可测空间和定义积分时扮演着关键角色。你可能注意到，一个集合环并非必然是一个σ环，这其中的区别在于“可数可加性”。下面我们就来详细剖析一下这个概念。
首先，我们得明确一下“环”和“σ环”的定义。
集合环 (Algebra of Sets)
一个非空集合 $mathcal{A}$ 构成一个集合环，如果它满足以下三个条件：
1. 非空性: $mathcal{A} eq emptyset$。
2. 差集封闭性: 如果 $A in mathcal{A}$ 且 $B in mathcal{A}$，那么 $A setminus B in mathcal{A}$。这意味着对于环中的任意两个集合，它们的差集也必须属于这个环。
3. 并集封闭性 (针对有限并集): 如果 $A in mathcal{A}$ 且 $B in mathcal{A}$，那么 $A cup B in mathcal{A}$。也就是说，环中的任意两个集合的并集也必须属于这个环。
从这两个性质（差集封闭和有限并集封闭）我们可以推导出，一个集合环也必须封闭于有限交集。为什么呢？因为 $A cap B = A setminus (A setminus B)$。既然 $A in mathcal{A}$ 和 $B in mathcal{A}$，那么根据差集封闭性，$A setminus B in mathcal{A}$。同理，$A setminus (A setminus B) in mathcal{A}$，所以 $A cap B in mathcal{A}$。
σ环 (σAlgebra of Sets)
一个非空集合 $mathcal{F}$ 构成一个σ环，如果它满足以下三个条件：
1. 非空性: $mathcal{F} eq emptyset$。
2. 差集封闭性: 如果 $A in mathcal{F}$ 且 $B in mathcal{F}$，那么 $A setminus B in mathcal{F}$。
3. 可数并集封闭性: 如果 ${A_i}_{i=1}^{infty}$ 是 $mathcal{F}$ 中的一个可数集合序列（即 $A_i in mathcal{F}$ 对所有 $i in mathbb{N}$），那么它们的并集 $igcup_{i=1}^{infty} A_i$ 也必须属于 $mathcal{F}$。
同样地，从差集封闭性和可数并集封闭性，我们可以推导出σ环也封闭于可数交集。因为 $A cap B = (mathcal{X} setminus (mathcal{X} setminus A)) cap (mathcal{X} setminus (mathcal{X} setminus B))$, 其中 $mathcal{X}$ 是全集。或者更直接地，若 ${A_i}_{i=1}^{infty}$ 是 $mathcal{F}$ 中的可数集合序列，则根据德摩根定律，$igcap_{i=1}^{infty} A_i = mathcal{X} setminus igcup_{i=1}^{infty} (mathcal{X} setminus A_i)$。如果 $mathcal{X} in mathcal{F}$（这是σ环的一个重要推论，稍后会提到），并且 $mathcal{X} setminus A_i in mathcal{F}$，那么其可数并集也在 $mathcal{F}$ 中，最后通过差集封闭性得到可数交集也属于 $mathcal{F}$。
还有一个重要的推论是，如果 $mathcal{F}$ 是一个σ环，那么它必须包含全集 $mathcal{X}$（如果它是定义在某个全集 $mathcal{X}$ 上）。为什么呢？我们可以取一个在 $mathcal{F}$ 中的集合，比如 $A in mathcal{F}$。那么 $A setminus A = emptyset$ 也必须在 $mathcal{F}$ 中。然后，考虑一个任意集合 $B in mathcal{F}$。我们知道 $B cup emptyset = B$。实际上，如果我们能够证明 $mathcal{X}$ 确实存在于 $mathcal{F}$ 中，那么它就满足了“包含全集”这一通常被当作σ环公理之一的性质。一个更严谨的证明方法是：设 $mathcal{F}$ 是定义在集合 $X$ 上的 $sigma$代数。那么存在 $A in mathcal{F}$（只要 $mathcal{F}$ 非空）。则 $A setminus A = emptyset in mathcal{F}$。对于任何 $B in mathcal{F}$，则 $X setminus B$ 怎么能确定在 $mathcal{F}$ 中呢？ 如果 $mathcal{F}$ 封闭于任意集合的差集，那就不需要全集。但这里是集合的差集。
回到正题，为什么环不一定是σ环？关键在于可数并集。
一个集合环可能不封闭于可数并集
环的定义只要求它对有限并集封闭。而σ环则要求对可数并集封闭。这个“可数”是造成两者区别的根本原因。
想象一下这个场景：我们有一个集合 $mathcal{A}$，它满足了集合环的所有要求：非空，对差集和有限并集封闭。但是，如果我们能在 $mathcal{A}$ 中找到一列集合，它们的并集却不在 $mathcal{A}$ 中，那么 $mathcal{A}$ 就仅仅是一个集合环，而不是一个σ环。
举个例子：
考虑实数集 $mathbb{R}$。我们想构建一个集合环，但又不希望它成为一个σ环。
设 $mathcal{R}$ 是由 $mathbb{R}$ 上所有有限个不相交的开区间组成的集合族。
例如，${,(a_1, b_1), (a_2, b_2), dots, (a_n, b_n),}$，其中 $a_i < b_i$ 且 $(a_i, b_i) cap (a_j, b_j) = emptyset$ 对于 $i eq j$。
这个族还包含了这些区间的所有有限并集。
让我们验证 $mathcal{R}$ 是否是一个集合环：
1. 非空性: 取一个开区间，比如 $(0, 1)$，它属于 $mathcal{R}$。所以非空。
2. 差集封闭性: 如果我们取两个 $mathcal{R}$ 中的集合 $A$ 和 $B$，它们是有限个不相交开区间的并集。比如 $A = igcup_{i=1}^m (a_i, b_i)$ 和 $B = igcup_{j=1}^n (c_j, d_j)$。那么 $A setminus B$ 仍然是由有限个（可能更少，甚至可能是空集）不相交开区间组成的集合。所以 $A setminus B in mathcal{R}$。
3. 有限并集封闭性: $mathcal{R}$ 的定义就包含了有限并集。两个有限个不相交开区间的并集仍然是有限个不相交开区间的并集（如果它们有重叠，可以合并）。所以 $mathcal{R}$ 对有限并集是封闭的。
因此，$mathcal{R}$ 确实是一个集合环。
现在，我们来看看 $mathcal{R}$ 是否是σ环。要成为σ环，它需要对可数并集封闭。
考虑下面的实数区间序列：
$A_n = (n, n+1)$，对于 $n = 0, 1, 2, dots$
每一个 $A_n$ 都是一个开区间，因此属于我们定义的集合环 $mathcal{R}$。
现在，我们来看这些集合的可数并集:
$igcup_{n=0}^{infty} A_n = igcup_{n=0}^{infty} (n, n+1) = (0, 1) cup (1, 2) cup (2, 3) cup dots$
这个并集的结果是什么？它是一个由无穷多个不相交的开区间组成的集合。然而，这个并集本身并不构成一个“有限个不相交的开区间”的集合。 它是一个无限多个不相交开区间的集合。
在我们的定义中，$mathcal{R}$ 只包含“有限个不相交的开区间”组成的集合。而 $igcup_{n=0}^{infty} A_n$ 就不是这样一个集合。
所以，虽然 $A_n in mathcal{R}$ 对所有 $n$，但 $igcup_{n=0}^{infty} A_n otin mathcal{R}$。
这恰恰证明了集合环 $mathcal{R}$ 不封闭于可数并集。因此，$mathcal{R}$ 是一个集合环，但不是一个σ环。
类比思考：
可以把集合环想象成一块积木，你只能用有限块积木来拼搭出新的形状。而σ环则更强大，它允许你使用无限多的积木来拼搭，只要它们能被“数清楚”（可数）。
为什么我们需要σ环？
在测度论中，我们关心的是如何给集合赋予“大小”（长度、面积、体积等）。这个“大小”的定义需要具备一种可数可加性。也就是说，如果我们将一系列互不重叠的集合进行组合，它们的总“大小”应该等于它们各自“大小”的总和。
例如，如果我们想测量一个区间的长度，比如说 $[0, 2]$。我们可以把它分成 $[0, 1]$ 和 $[1, 2]$。长度应该是 $length([0, 1]) + length([1, 2]) = 1 + 1 = 2$。如果再分成 $[0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], [1.5, 2]$，它们长度之和也是 2。
这个“可数可加性”就是从σ环的可数并集封闭性而来。测度本身被定义在σ环上，并且必须满足：如果 ${A_i}_{i=1}^{infty}$ 是 σ环 $mathcal{F}$ 中一组互不相交的集合，那么 $mu(igcup_{i=1}^{infty} A_i) = sum_{i=1}^{infty} mu(A_i)$。
集合环只满足有限可加性：如果 $A_1, dots, A_n$ 是环中一组互不相交的集合，那么 $mu(igcup_{i=1}^n A_i) = sum_{i=1}^n mu(A_i)$。但仅仅有有限可加性不足以处理无限的集合并集，也无法构建出像勒贝格测度那样强大的测度。
总结一下：
集合环 允许对有限个集合进行并集运算并保持在环内。
σ环 则要求对可数个集合进行并集运算时，结果也必须在σ环内。
正是因为这个“可数”的要求，一个只满足有限并集封闭性的集合环，可能因为无法处理无限可数个集合的并集而无法成为σ环。我们的例子展示了这一点，通过构造一个包含所有有限个不相交开区间的并集的集合族，我们发现它可以构成一个环，但当遇到无穷多个这样开区间的并集时，这个并集不再属于该族，从而使其失去了σ环的性质。
理解这个区别对于学习测度论至关重要，因为它直接关系到我们如何定义和计算集合的“大小”，以及如何构建更精细的积分理论。
首先，我们得明确一下“环”和“σ环”的定义。
集合环 (Algebra of Sets)
一个非空集合 $mathcal{A}$ 构成一个集合环，如果它满足以下三个条件：
1. 非空性: $mathcal{A} eq emptyset$。
2. 差集封闭性: 如果 $A in mathcal{A}$ 且 $B in mathcal{A}$，那么 $A setminus B in mathcal{A}$。这意味着对于环中的任意两个集合，它们的差集也必须属于这个环。
3. 并集封闭性 (针对有限并集): 如果 $A in mathcal{A}$ 且 $B in mathcal{A}$，那么 $A cup B in mathcal{A}$。也就是说，环中的任意两个集合的并集也必须属于这个环。
从这两个性质（差集封闭和有限并集封闭）我们可以推导出，一个集合环也必须封闭于有限交集。为什么呢？因为 $A cap B = A setminus (A setminus B)$。既然 $A in mathcal{A}$ 和 $B in mathcal{A}$，那么根据差集封闭性，$A setminus B in mathcal{A}$。同理，$A setminus (A setminus B) in mathcal{A}$，所以 $A cap B in mathcal{A}$。
σ环 (σAlgebra of Sets)
一个非空集合 $mathcal{F}$ 构成一个σ环，如果它满足以下三个条件：
1. 非空性: $mathcal{F} eq emptyset$。
2. 差集封闭性: 如果 $A in mathcal{F}$ 且 $B in mathcal{F}$，那么 $A setminus B in mathcal{F}$。
3. 可数并集封闭性: 如果 ${A_i}_{i=1}^{infty}$ 是 $mathcal{F}$ 中的一个可数集合序列（即 $A_i in mathcal{F}$ 对所有 $i in mathbb{N}$），那么它们的并集 $igcup_{i=1}^{infty} A_i$ 也必须属于 $mathcal{F}$。
同样地，从差集封闭性和可数并集封闭性，我们可以推导出σ环也封闭于可数交集。因为 $A cap B = (mathcal{X} setminus (mathcal{X} setminus A)) cap (mathcal{X} setminus (mathcal{X} setminus B))$, 其中 $mathcal{X}$ 是全集。或者更直接地，若 ${A_i}_{i=1}^{infty}$ 是 $mathcal{F}$ 中的可数集合序列，则根据德摩根定律，$igcap_{i=1}^{infty} A_i = mathcal{X} setminus igcup_{i=1}^{infty} (mathcal{X} setminus A_i)$。如果 $mathcal{X} in mathcal{F}$（这是σ环的一个重要推论，稍后会提到），并且 $mathcal{X} setminus A_i in mathcal{F}$，那么其可数并集也在 $mathcal{F}$ 中，最后通过差集封闭性得到可数交集也属于 $mathcal{F}$。
还有一个重要的推论是，如果 $mathcal{F}$ 是一个σ环，那么它必须包含全集 $mathcal{X}$（如果它是定义在某个全集 $mathcal{X}$ 上）。为什么呢？我们可以取一个在 $mathcal{F}$ 中的集合，比如 $A in mathcal{F}$。那么 $A setminus A = emptyset$ 也必须在 $mathcal{F}$ 中。然后，考虑一个任意集合 $B in mathcal{F}$。我们知道 $B cup emptyset = B$。实际上，如果我们能够证明 $mathcal{X}$ 确实存在于 $mathcal{F}$ 中，那么它就满足了“包含全集”这一通常被当作σ环公理之一的性质。一个更严谨的证明方法是：设 $mathcal{F}$ 是定义在集合 $X$ 上的 $sigma$代数。那么存在 $A in mathcal{F}$（只要 $mathcal{F}$ 非空）。则 $A setminus A = emptyset in mathcal{F}$。对于任何 $B in mathcal{F}$，则 $X setminus B$ 怎么能确定在 $mathcal{F}$ 中呢？ 如果 $mathcal{F}$ 封闭于任意集合的差集，那就不需要全集。但这里是集合的差集。
回到正题，为什么环不一定是σ环？关键在于可数并集。
一个集合环可能不封闭于可数并集
环的定义只要求它对有限并集封闭。而σ环则要求对可数并集封闭。这个“可数”是造成两者区别的根本原因。
想象一下这个场景：我们有一个集合 $mathcal{A}$，它满足了集合环的所有要求：非空，对差集和有限并集封闭。但是，如果我们能在 $mathcal{A}$ 中找到一列集合，它们的并集却不在 $mathcal{A}$ 中，那么 $mathcal{A}$ 就仅仅是一个集合环，而不是一个σ环。
举个例子：
考虑实数集 $mathbb{R}$。我们想构建一个集合环，但又不希望它成为一个σ环。
设 $mathcal{R}$ 是由 $mathbb{R}$ 上所有有限个不相交的开区间组成的集合族。
例如，${,(a_1, b_1), (a_2, b_2), dots, (a_n, b_n),}$，其中 $a_i < b_i$ 且 $(a_i, b_i) cap (a_j, b_j) = emptyset$ 对于 $i eq j$。
这个族还包含了这些区间的所有有限并集。
让我们验证 $mathcal{R}$ 是否是一个集合环：
1. 非空性: 取一个开区间，比如 $(0, 1)$，它属于 $mathcal{R}$。所以非空。
2. 差集封闭性: 如果我们取两个 $mathcal{R}$ 中的集合 $A$ 和 $B$，它们是有限个不相交开区间的并集。比如 $A = igcup_{i=1}^m (a_i, b_i)$ 和 $B = igcup_{j=1}^n (c_j, d_j)$。那么 $A setminus B$ 仍然是由有限个（可能更少，甚至可能是空集）不相交开区间组成的集合。所以 $A setminus B in mathcal{R}$。
3. 有限并集封闭性: $mathcal{R}$ 的定义就包含了有限并集。两个有限个不相交开区间的并集仍然是有限个不相交开区间的并集（如果它们有重叠，可以合并）。所以 $mathcal{R}$ 对有限并集是封闭的。
因此，$mathcal{R}$ 确实是一个集合环。
现在，我们来看看 $mathcal{R}$ 是否是σ环。要成为σ环，它需要对可数并集封闭。
考虑下面的实数区间序列：
$A_n = (n, n+1)$，对于 $n = 0, 1, 2, dots$
每一个 $A_n$ 都是一个开区间，因此属于我们定义的集合环 $mathcal{R}$。
现在，我们来看这些集合的可数并集:
$igcup_{n=0}^{infty} A_n = igcup_{n=0}^{infty} (n, n+1) = (0, 1) cup (1, 2) cup (2, 3) cup dots$
这个并集的结果是什么？它是一个由无穷多个不相交的开区间组成的集合。然而，这个并集本身并不构成一个“有限个不相交的开区间”的集合。 它是一个无限多个不相交开区间的集合。
在我们的定义中，$mathcal{R}$ 只包含“有限个不相交的开区间”组成的集合。而 $igcup_{n=0}^{infty} A_n$ 就不是这样一个集合。
所以，虽然 $A_n in mathcal{R}$ 对所有 $n$，但 $igcup_{n=0}^{infty} A_n otin mathcal{R}$。
这恰恰证明了集合环 $mathcal{R}$ 不封闭于可数并集。因此，$mathcal{R}$ 是一个集合环，但不是一个σ环。
类比思考：
可以把集合环想象成一块积木，你只能用有限块积木来拼搭出新的形状。而σ环则更强大，它允许你使用无限多的积木来拼搭，只要它们能被“数清楚”（可数）。
为什么我们需要σ环？
在测度论中，我们关心的是如何给集合赋予“大小”（长度、面积、体积等）。这个“大小”的定义需要具备一种可数可加性。也就是说，如果我们将一系列互不重叠的集合进行组合，它们的总“大小”应该等于它们各自“大小”的总和。
例如，如果我们想测量一个区间的长度，比如说 $[0, 2]$。我们可以把它分成 $[0, 1]$ 和 $[1, 2]$。长度应该是 $length([0, 1]) + length([1, 2]) = 1 + 1 = 2$。如果再分成 $[0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], [1.5, 2]$，它们长度之和也是 2。
这个“可数可加性”就是从σ环的可数并集封闭性而来。测度本身被定义在σ环上，并且必须满足：如果 ${A_i}_{i=1}^{infty}$ 是 σ环 $mathcal{F}$ 中一组互不相交的集合，那么 $mu(igcup_{i=1}^{infty} A_i) = sum_{i=1}^{infty} mu(A_i)$。
集合环只满足有限可加性：如果 $A_1, dots, A_n$ 是环中一组互不相交的集合，那么 $mu(igcup_{i=1}^n A_i) = sum_{i=1}^n mu(A_i)$。但仅仅有有限可加性不足以处理无限的集合并集，也无法构建出像勒贝格测度那样强大的测度。
总结一下：
集合环 允许对有限个集合进行并集运算并保持在环内。
σ环 则要求对可数个集合进行并集运算时，结果也必须在σ环内。
正是因为这个“可数”的要求，一个只满足有限并集封闭性的集合环，可能因为无法处理无限可数个集合的并集而无法成为σ环。我们的例子展示了这一点，通过构造一个包含所有有限个不相交开区间的并集的集合族，我们发现它可以构成一个环，但当遇到无穷多个这样开区间的并集时，这个并集不再属于该族，从而使其失去了σ环的性质。
理解这个区别对于学习测度论至关重要，因为它直接关系到我们如何定义和计算集合的“大小”，以及如何构建更精细的积分理论。
网友意见
因为无限集的有限子集有无限个，包含无限个有限子集的集类不就跟整个无限集的所有子集的集类一样了吗？
你忘了这个无限集本身也是子集，它不在有限子集的集类中。
此外，在无限集里取无限个元素构成的子集，也不会在有限子集的集类中。
比如，这个无限集是 ，其有限子集的集类是 ，就有 及
所以这两个是不一样的。
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