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二重积分经过变量变换后,为什么原有闭区域的边界点也是新区域的边界点? 第1页

  

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设 是一同胚, 为开域,那么 将内点映为内点,边界点映为边界点.

证:反证法.

  • 若边界点 ,但 是内点,存在开球 ,则 ,故 是 含在 内的开邻域,于是 是 的内点,这与题设矛盾;
  • 若内点 ,但 是边界点,由于 也是同胚,则由上一种情况可知, 也是边界点,矛盾.


而一般的积分变换 ,满足Jacobi 行列式非零,等价于积分变换 是满秩的,即 是一个光滑浸没(Submersion),而光滑浸没是局部微分同胚( Local diffeomorphism).




  

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