可交换矩阵的求法有几种？ 第1页
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如果是给定一个矩阵 ，求与之交换的所有矩阵的形式，可以做以下讨论：
首先做若当标准型分解： 其中 是右上副对角线为 的Jordan矩阵。则由于 ，即存在同构 从而问题等价于找到所有与 交换的矩阵 ，每一个 唯一对应一个 与 交换。
由于上述Jordan矩阵中特征根为 的Jordan块 第 行第 列元素 ，故若矩阵 ，其中 第 行第 列元素为 ,则
【注1：此处意指按Einstein约定对指标 求和】
即
【注2：若指标越界则为 】。
若 则从 左下角开始（设其为 矩阵），逐条研究左上/右下斜线贯穿的元素 从而 只有零解。
若 ，仍从 左下角开始（设其为 矩阵），由条件得到连等向左上/右下延伸，若超出边界则为 ，则 直到三元素组 “右上角” 在矩阵内时另两个元素均在矩阵内，可以任意取值。
如上我们得到了 的结构，即为满足 的 中分别左乘（行数对应于 所在列）等于右乘（列数对应于所在行）的块的结构。回忆开头的讨论，将 变换得到与 交换的矩阵即可。
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