把线性空间分解为不变子空间的直和有何用处？ 第1页

谢邀。

本质上就是约化。把高维的问题约化到低维，把复杂的变换约化成简单的变换。

比方说随便写一个乱七八糟的方阵，你不知道怎么处理，事实上数学家a priori也不知道怎么处理（a priori不知道怎么翻译比较好，“先验”？）但是给你一个对角阵，你的思路估计会清晰很多，你知道对角阵代表的就是在不同的特征方向上做不同的伸缩变换（当然伸缩的系数可能是复数，这种情形对应到实平面里面的旋转＋伸缩）的一个复合。然后有一个奇迹出现了：很多矩阵，在你换一个角度（换一套坐标系）去观察以后，它其实就是个对角阵。你去把一个矩阵对角化的过程，就是去找那些特征方向，也就是一维的不变子空间的过程，也就是你去寻找最佳的“观察角度”的过程。

当然你不可能总是这么幸运。有些矩阵是不可对角化的，本质原因是他们有2维以上的“不可约”不变子空间（这里的不可约和表示论里面的不可约是一个意思）。在这种情形下，如果是复矩阵，你就应该去考虑所谓的Jordan标准型。非平凡的Jordan块当然比对角阵麻烦一点，但是比起原来那个乱七八糟的矩阵总是方便太多。在这种情形下你还是要去找所有的“不可约”不变子空间（Jordan标准型里的根子空间），然后考虑这个矩阵在每个不变子空间上长什么样（Jordan块）。这个过程就好像你面对一个复杂的机器（让你不知所措的一个矩阵），你先观察它的内在结构（寻找它的特征空间／不变子空间），然后拿锤头起子或者别的什么工具（特征值、（广义）特征向量等知识）把它拆卸成一个个你可以理解的零件（把大矩阵分解成你可以理解的小矩阵块，比如Jordan块），然后你就对原来那个机器的运作机理有所了解了。本质上是一种“分析”的思维方式（这里的分析不是数学分析意义上的分析，而是跟“综合”相对的那个分析）。