为什么矩阵内积的定义包含一个迹运算？ 第1页
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liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
引理：迹数拥有相似不变性。如果矩阵A和B相似的话，它们会有相同的迹。
0迹方阵:
A—>tr(A)
对角线和为0的方阵的象为0，特别地，对角线元素都是0的方阵是0迹方阵。
也就是说，这里的迹是一个等价划分，相似方阵的迹都相等，那么它们都是以0迹方阵为球心，半径为迹（的平方根）的球面上的元素。
迹同态:
迹映射的性质出人意料得强:
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
tr(k•A)=k•tr(A)
这是伟大的线性性，如果k是域上的元素，这就是线性空间了，迹在这个地方充当了同态映射的角色，即方阵空间在迹映射下同态于一个线性空间。
在这样的观点下，线性无关、维数、子空间等一系列概念大有用武之地。另外，迹在转置下具有不变性，矩阵的左乘和右乘在迹的观点下都是一样的...
回归正题，最主要的是，由内积可以导出范数、正交等概念，所以这个映射必须要把矩阵映射为数才行，这个其他答主都表示过了，我不再赘述。
希望我的胡说八道对题主有帮助。
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