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为什么矩阵内积的定义包含一个迹运算? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

引理:迹数拥有相似不变性。如果矩阵A和B相似的话,它们会有相同的迹。

0迹方阵:

A—>tr(A)

对角线和为0的方阵的象为0,特别地,对角线元素都是0的方阵是0迹方阵。


也就是说,这里的迹是一个等价划分,相似方阵的迹都相等,那么它们都是以0迹方阵为球心半径(的平方根)的球面上的元素。

迹同态:

迹映射的性质出人意料得强:

tr(A+B)=tr(A)+tr(B)

tr(k•A)=k•tr(A)

这是伟大的线性性,如果k是域上的元素,这就是线性空间了,迹在这个地方充当了同态映射的角色,即方阵空间在迹映射下同态于一个线性空间。

在这样的观点下,线性无关、维数、子空间等一系列概念大有用武之地。另外,迹在转置下具有不变性,矩阵的左乘和右乘在迹的观点下都是一样的...


回归正题,最主要的是,由内积可以导出范数、正交等概念,所以这个映射必须要把矩阵映射为数才行,这个其他答主都表示过了,我不再赘述。

希望我的胡说八道对题主有帮助。




  

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