百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



如何求解下面的函数方程? 第1页

  

user avatar   cybjiang 网友的相关建议: 
      

我们增加难度,在仅仅要求 连续的条件下就可以求解这个函数方程

在原式代入 得到

现在再令 得到 : 对任意

也就是三阶差分

现在结合 连续 , 我们首先证明 是一个至多二次的函数 :

首先我们证明 在区间 内一定是一个至多二次的函数 .

若这一结论成立 , 我们可以向两边延申【符合这个至多二次函数关系式的区间】如下 :

利用 与 的差分关系 ,

在 时可以使区间右端点向右延申 , 这一操作可以不断进行下去 ,

同理也可以使区间左端点向左不断延申 , 因此可以证明任意 都符合这一不超二次的关系式

也就是说证明了存在实数 使得 都有

现在回到区间 中去 , 我们先证明对一切

所有这些 点都经过 所确定的二次函数 .

方法很简单 , 给定 , 只要取 在 使用三次差分的关系 .

这就能证明所有的分母为 的点都在过 的不超过二次的函数上 ,

进而所有分母 的点在一条不超过二次的函数上 , 且这一函数过

得证 , 结合有理数在 稠密以及 的连续性 , 引理得证 .

回到原题 , 还记得 , 我们代入

得到 经过验证 ,

令 方便描述 , 代回原式 , 得到

而我们有 , 经验证 , 无论 的值如何都是符合条件的 .

也就是


最后简单地说 : 当 不连续的时候 ,

考察 那么只要 满足柯西方程都是原函数方程的解

没有这个条件会引入很多病态的解 .




  

相关话题

  如何证明这个由Abel定理得到的结论? 
  如何求 R^n 上 |x|^2 * e^(-|x|^2) 的积分? 
  如何简明地解释曲率(curvature)? 
  复变函数、实分析、复分析、数学分析是什么关系? 
  Taylor公式证明是怎么想出来的? 
  拉普拉斯变换的物理意义是什么? 
  在有界闭区域上连续的多元函数一定有最大值和最小值是否正确? 
  如何确定该双变量函数的所有间断点? 
  一个半径为1的圆周上有三个点,求三个点构成的图形的面积的期望值? 
  如何证明这个数列$$a_{n}=sum_{i=1}^{n}(-1)^{⌊ix⌋}$$无界? 

前一个讨论
有哪些关于复数/复变函数的有趣知识?
下一个讨论
有数学问题在哪里请教?





© 2025-04-04 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-04 - tinynew.org. 保留所有权利