为什么不存在收敛速度最慢的级数？ 第1页

1，每一个收敛级数，都可以找一个比它收敛得更慢的级数(这个不难证明)。

2，可数无穷个收敛级数，都能找到一个收敛级数，比这可数无穷多个收敛级数的每一个都收敛得更慢。(有点复杂，但是利用康托对角线方法，也还行)

3，多少个收敛级数，会找不到一个比它们收敛得都慢的收敛级数?这里神奇的结果就是，这个临界基数与多少个勒贝格零测集的并不是勒贝格零测集的临界基数是相等的(Bartoszynski)。（这个非常难了)

参考:Bartoszynski and Judah， Set theory on the structure of the real line. A. K. Peters,1995. 里面的第二章。

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随便写了点，也没回答题主的问题，没想到知乎的小伙伴们给了好多赞，那就把题主的问题回答一下吧，不然，一句这个不难证明，有点不好意思。写个与上面的答主不一样的证明吧，当然与前面的答主一样，考虑的也是正项级数。

设 收敛，所以它的余项可以小于任意给定的正数。依次对 ,找到一个逐渐递增的自然数 使得

然后对于 ,令 ,那么可知：

并且 ,

所以级数 收敛。这就是一个比 收敛得还慢的级数。

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关于正项收敛级数的 bounded 数和零测集的bounded数是相等的这个结论，并不容易，虽然据说Bartoszynski证明这个结论时还是本科生，但是人家牛啊。下面贴图上证明，就是下面的Theorem2.3.9.

Bartoszynski and Judah的这本书 Set theory on the structure of the real line，我只有复印的纸质版，没有电子版，所以别私信找我要电子版了。当然，如果对基数不变量感兴趣的话，建议先去读

Blass,Combinatorical Cardinal Characteristics of the Continuum.