复变函数问题。这个题该如何解决? 第1页
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wan-qiu-shi-nei-tun-rou-shao-zhi-zhi-huang 网友的相关建议:
稍微想了一下，发现有几种做法，但就是没想到怎么用环绕数做。
方法1：由对称原理， 可延拓到整个复平面上，此时得一有界整函数，由刘维尔定理， 因此 在 上为常值函数。
方法2：由于 在 上全纯，其虚部 为 上调和函数，而 为实值函数，因此 在 上恒为0，由weak maximum principle， ，因此 为实值函数且全纯，只能是常值函数。
方法3：非常值全纯函数 为开映射，因此将区域 映为两个有界区域 ，且 ，于是 ，这显然是不可能的，因此 为常值函数。
方法4：由于 ，取 满足 ，则
即 ，因此 为实值全纯函数，故为常值函数。
方法5：设
任取 ，考虑函数 ，再考虑集合 ，记函数 ，则
因此由（推广的）鲁歇定理， 与 在 上有相同的零点数，但根据定义， 没有零点，因此 为实值全纯函数，故为常值函数。
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