怎么证明算术平均数大于等于几何平均数？ 第1页

给一个初中证法吧w

大概是初中生就能轻松看懂的那种qwq

这次是真的初中生就能轻松看懂啊QAQ！！1

（呜呜呜呜忘证取等了>_<，但是这会在狂写寒假作业没法补上取等的证明，等写完就来补qwq）

首先给出「算术平均」和「几何平均」的定义（题目里面没写，这里补上吧qwq）：

定义 个非负实数 的「算术平均值」为： ，记作 。

定义 个非负实数 的「几何平均值」为： ，记作 。

那么有：对任意的正整数 ，有 。当且仅当 时取等。

下面给出证明。

呜哇哇，这么长一串式子，还带高次根号，还除个 ，而且一点条件都不给，这让我怎么证嘛>_<

那，先看一看最基本的， 的情况？

由于只有两个数，那就不用我们不熟悉的 来记了，直接记作 吧qwq！

嘛，要证 ，左边那个分数线看着很不顺眼诶。好，把 乘到右边去！

于是我们现在要证 。呐，根号也看着很不爽，好，两边平方！

那么我们现在要证的东西就变成了 ，展开，也就是 。

（这里补充说明一下，只有 的时候这俩才等价，如果题目里没说的话可不能直接硬搞哦=_=）

诶，左右两边都有 项啊，那把右边的 移到左边来，不就能合并同类项嘛！好，移项！

于是我们现在就要证 ，唔.......左边这个式子怎么看着有点熟悉？

qwq，左边不就是 嘛！那这东西就变成了 ，而初一知识告诉我们平方具有非负性，这不显然成立嘛！

OvO，我们证出了 时这个东西成立诶！朝着成功的方向迈出了第一步！

诶，灵机一动，发现，当 时，连用两次我们刚刚证过的 时的结论：

动动你聪明的小脑瓜，可以发现，就这样一直推下去，可以证出来 的时候，也就是 的时候，这个结论，都是成立的！

哇哇哇，这一下子就证出了 的值为这么多个数的时候，结论都成立诶！Excellent！

快快快，写一下过程，一会忘记了这么精妙的证明可就太难受啦>_<

可以用数学归纳法证明：对于形如 （ 为正整数）的 ，有 。

首先，当 时，有 。

于是：

显然成立。

设当 时，对于 ，有 ，即：

则当 时，对于 ，有：

于是，结论仍成立。

由数学归纳法知：对于形如 （ 为正整数）的 ，均有 。

好耶！我们已经证出了 的值为这么多个数的时候，结论都成立！

多少个数呢？嘛......管他多少个，反正好多好多呢awa！

但是，但是诶，这么多个数，还是没能填满我们要证的那一堆数：全体正整数。

比如，对于 ，或者 ，或者是 ，再或者是 ，我们都没给出证明诶=_=

实际上，我们证出的这些 的值，孤零零地在数轴上立着，每两个中间都差着一大段呢>_<

把这些 全都标出来，大概是这样的：

OvO！这，这咋密密麻麻的全是叉啊=_=

呜呜呜，这么一看，似乎，似乎，我们只证出了全体正整数的很小很小一部分>_<

那，能不能想个办法，把剩下的这一段区域填满呢？

唔......还是从简单的开始吧！我们来试图用已知的那些 的结论，证一下 试试？

qwq，我们貌似证过一个东西： ......

呐，咱证出来的可是 个数的结论诶！咱证出的结论，看上去吊打 个数的结论好不好！

就是这个 看上去很碍眼诶>_<

嘛......既然我们证的是对于任意非负实数的结论，那也就是说， 能随便取？

那，能不能取一个合适的 ，使得 ， 呢？

嗯...... 的话，根号看着好恐怖啊=_=

那来算一算 ？

根据我们小学二年级学过的知识，交叉相乘，得到 。

直接把等式左边的 个 挪到右边去，得到： 。

于是，我们就轻轻松松求出了 的值： 。

什么嘛，这么难看的一个分数，怎么乘进右边那个大根号里啊！

算了qwq......，硬着头皮乘进去试试吧=_=

此时：

虽然这个式子貌似看起来很恐怖=_=，但是，其实真正有用的只有蓝色的两项嘛qwq。

（毕竟我们要凑的式子只是关于 的， 就可以完全扔掉不管了qwq）

如果我们把蓝色的两项单拎出来，就有： 。

一样的，看根号不顺眼？直接四次方！反正 ，随便几次方都不会影响不等号方向。

四次方之后，就有： 。

诶，似乎可以消掉一个 的说qwq。

消掉之后，也就得到了： ！！

QAQ！仔细看看这个式子！

两边同时开立方根，这不就是我们要证的结论， 嘛！

于是，我们成功地通过 时成立的结论，推出了 时结论成立！

呐呐，仔细观察一下这个过程，不难发现可以推广到任意的正整数 吧？

哇哇哇，那仔细想想，咱不就证完了吗！

前面证过，对于任意的 ，结论成立对吧？

那看看那个数轴，这就相当于，我们在正整数集里面，埋下了很多个伏兵OvO~

然后我们又证明了：只要 时结论成立， 时结论也成立qwq

那，想象一个过程：

说时迟，那时快！伏兵「成立的结论」 以迅雷不及掩耳之势拔刀，一刀砍倒了它左边的「暂时还未证明的结论」 ，把 变成了「成立的结论」！

然后，「成立的结论」 再一次拔刀，把 也变成了「成立的结论」！

就这样一个一个「成立」下去，直到有一次， 刚刚被 变成「成立的结论」，正要一刀砍倒 时，却惊讶的发现 ，本就是埋下的伏兵，已经「成立」了OvO

蓦然回头， 到 的所有 ，都已经被变成了「成立的结论」！

于是，对于 到 之间的所有 ，结论都是成立的qwq！我们填满了这段区间！

同理，整个正整数集全都被填满啦awa~

（这算不算是成功「攻占」了正整数集啊qaq）

来写一下过程吧awa~

现在，我们假设 时有 ，即：

令 ，则有：

即：

所以有：

（ps：这里的 不是排列数啊QAQ！！是 的 次方啦！）

亦即：

于是当 时命题仍然成立。

综上所述，对一切正整数 ，均有 。

证毕。

QAQ，这不就证完了嘛！

连珂朵莉都觉得很不可思议呢qwq~

来，击个掌庆祝一下！