如何用数学的方法说明极限理论的表现力强于初等数学？ 第1页

感谢大佬邀请。

看到题目我有点懵，对“表现力”的理解不知是否到位. 我想先举几个例子，最后再做一点归纳.

例子

我最先想到的是极限在初等几何学中的应用，这事实上也是牛顿的看家本领.

• 从垂径定理到切线垂直于过切点的半径，以极限观点看是极为自然的过渡.

• 关于圆周角定理

虽然证明 是很容易的事，但是我们不妨在极限的视角下获得直观：让 与 都趋近于 ，注意在这个大前提下就会有下面两个事实：

• 、 、 三点的极限位置共线；
• 、 的极限位置是与 平行（共线）

于是由两直线平行同位角相等可知

同理可知

最后由第一点，于是我们得知在极限状态下

而事实上我们知道此两角本就是常数，故两角互补.

• 比如从椭圆的光学性质自然过渡到抛物线的光学性质

• 无穷远点的引入

这个想法将许多重要定理的特例统一合并在一起，比如像德萨格定理、帕斯卡定理等，在两直线相交时结论成立，那么当两直线平行时，我们就说这两条直线相交于无穷远点；在反演定理中，我们将圆与直线不加以区别，并认为直线是圆心在无穷远点的圆，这一观点是非常深刻的.

• 微元分析法

另外牛顿的微元分析法是暴强的技术手段，理论上所有的微积分公式事实上都能在微元几何中找到几何意义.

……

总结

通过以上几个直观的几何案例（后面我可能会继续补充），我觉得极限的的帅气已经无以复加，初等数学对于整体、连续、运动的数学观只能甘拜下风、望洋兴叹。这个数学工具其背后本身就是人类对于统一、简洁的追求，就像哈代说过的，好的数学不是一个个孤立、离散的星系（语出《一个数学家的自白》，原话大概是这样，后面我查证一下）.

关于极限在初等数学中其他领域中的应用，我就不多说了，留给其他大神展示. 希望我的回答能对题主有一丝丝帮助. 如果我能想到更高级的观点、例子，后面再补充.